五年专注考研专业课辅导
清华大学 2009 年信号与系统考研试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
回忆
一、五小问，25 分
1、Sin（wt+3/4pi）的自相关函数（这个题跟书上的
例题
求函数的导数例题eva经济增加值例题计算双重否定句的例题20道及答案立体几何例题及答案解析切平面方程例题
很相近，书上是 cos（wt））
2、s 域到 z 域的映射关系 3、非最小相移系统（z-1.5）/（z-0.5）用全通函数与最小相
移函数表示，分别写出二者系统函数 4、给出一个 H（s）表达式，求滤波器函数 H（z）。
（可参考第八章课后题）
5、F（w）是带限信号，h（t）为矩形信号。用 h（t-nT）（n 跑遍整个时域）进行抽样，
题目给出条件是满足采样定理的，求频域的采样函数。
二、八小问，40 分，最好简明，能用公式表示要用公式。
1、DTFT 的频域是周期的么？为什么？
2、白噪声通过匹配滤波器还白不白？为什么？
3、一个信号是带限还是不带限，或是二者皆有可能。为什么？
4、给了一个 H（z）= ， 求冲击响应，若 求冲击响应。A，B 忘记具体数值，此题属
于常规题目，历年多次涉及。
5、6、全通系统经过双线性变换还是不是全通函数？
7、用 DFT 分析连续信号的步骤，并说明由此产生了什么效应，误差。
8、以下三至七各 10 分
三、求 f（t）的傅里叶变换，信号是三个三角函数，可以参考书上例题。
四、|H（jw）|2= 1/（1+w4），求其相应的最小相移函数，求最小相移函数的冲击响应。
五、全通函数的零极点分布特性，用关系式描述，要写出 s 域与 z 域的。
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六、
七、如果*表示卷积，@表示相关（原题的符号：圈中是“*”）
求证（f（t）*g（t））@（f（t）*g（t））=（f（t）@f（t））*（g（t）@g（t））
八、15 分。共三问，具体的想不起来了，但是总的来说不难，特别是给了提示，只要
把提示的公式带进去，题目就迎刃而解了。
九、20 分。共四问，属于新瓶装旧酒吧。
1、非递归 y（n）=（1/M） ，求系统函数，零极点分布特性，频响函数并作图。
2、递归
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
函数 y（n）=ay（n-1）+bx（n），，问输入阶跃信号，a，b 取何值，系统
稳定。求系统函数。
1
1-1 Fn和 F(w)的物理意义
1-2 DFT是否正交变换
1-3 FT和 LT的关系
1-4 fir滤波器的时域对称性的表达式
2-1 希尔伯特正变换和反变换级联后是一个冲击
2-2 f(x)=e^(-x)u(x),求 f(ax)卷积 f(bx),a>0,b>0
(s^2+3s+3)/(s^2+2s+2)整体再乘 e^(-s)
2-3 delta(t)+t*delta'(t)
2-4 给出H(z)的表达式，求逆系统的冲击响应
2-5 证明一个 bibo 线性定常系统可以表为一个最小相位系统和全通系统级联
3-1 证明：实信号幅度谱和相位谱的奇偶性
3-2 证明：自相关推导出来的帕斯瓦尔方程
4 1/给出一个反馈框图，求H(s)
2/根据 bibo 稳定，判断参数K1 K2 满足的约束条件
3/画出 bibo 稳定的H(s)的极点分布
4/输入 e(t)=u(t)-u(t-T/2),求 r(t),并且画图（画图这个做得太少）
5/ 一个电感和电阻串联的滤波器
1/用冲击不变法求H(n)
2/用 IIR实现该数字滤波器
2/画出H(jw)的幅度谱（凡是画图的都砸了）
3/截取 h(n)冲击响应的幅度不少于 10%的窗函数，画 FIR结构
6/ x(n),0<=n<=7，h(n),0<=n<=1023
1/求输出 y(n)的加法和乘法次数
2/用DFT和 FFT推导一种快速算法，不需要画蝶形图
3/估算这种方法的乘法和加法次数
注：程佩清的信号处理第 4章第 10节就有具体解法
7/ 这道题在奥本海默数字信号处理有出现
定义 Wf,自相关宽度，wf=R(t)从负无穷到正无穷的积分除以 R(0)
f(t)=u(t+1/2)-u(t-1/2),R(t)是 f(t)的自相关
1/求 f(t)的 wf大小
2/求 f(t)的能谱密度
总体上，题目不难，概念考得不是很深；看奥本的数字信号处理还是很有好处的
如果能把后面的题目都做会，那就不错了；郑君里课本的东西，好像考得不是很深入
虽然不知道我考得怎么样，估计因为计算问题会好差，我还是给点经验教训吧
1/课后题目和例题一定要做熟，图和表一定要记熟
2/奥本海默的两本书一定要看熟，深入题和提高题就有比较多的原题
3/程佩清的数字信号处理也不错
所有考题均为网上搜集整理，感谢前人们做的贡献！所有试题均作学习交流之用，禁止用作商业用途！——Oxiang整理
感谢jehovah0121和cmczcs做的06信号
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
，以及所有不知名的前人们！
2007信号（回忆版）
欢迎补充
一．证明解答下列各题
1 输入信号 x(t)=u(t)-u(t-1) 通过系统函数为∑(-1)^nδ(t-n)e^-3t 的零状态响应 y(t)
(1)求 y(t)及图形
(2)求 y(t)的拉式变换.
2.LT[f(t)]=？求 f（t）
3.电视调制测试信号 f(t)=A{m+c[u(t)-1)}cosw0t 求 F.T.
4.
5.已知 x(n)的 ZT X(z)，证明 ZTx*(n)= X*(z*)
6.x(n)y(n)互相关函数的 Z.T.(Rxy)=X(z)Y(1/z)
二．|X(w)|为介于 1000pi-2000pi的关于纵轴对称的三角波 w=1.5kpi时最大值为 1
x(t)-> 乘法器 -> 加法器->截止频率为 2000pi的理想带阻滤波器-r(t)
| |
cos3000pit--
1）画出输出 r(t)的频谱及加法器输出信号
2）要解调出预调制前的基带信号 请画出框图并给出解调出来的信号频谱
三．非均匀抽样
四．采样 矩形脉冲先时域抽样 再频域抽样 类似于第五章的例题
1 画出采样后的图型
2 写出表达式的 FT
3 一般意义下 这样采样后DFT不考虑舍入误差情况下能不能准确得到等间隔DFT采样
值
五．已知 n点 DCT ，IDCT定义式
x(n) 0=
=K 其中K为一常数
六．问答题
1）什么是 Gibbs现象？存在的充要条件是什么？如何消除？
2）冲击响应不变法的映射关系式并画出映射图像
3）a写出双线性变换公式 b能不能由其变换唯一确定原 s域的函数
c结合 a的公式双线性不变法会不会改变系统的属性 分析一下一下属性
如全通 最小相移 bibo
4）y(n)=x(n)*h(n)*g(n)
问 a如何选择 g（n）能使得 y（n）是 x（n）的无失真重现
b 如何选择选择 h（n）使得 g（n）可以 bibo实现
清华大学 06年信号与系统
1
一、问答题：
1f1(t)=Wc/pai*Sa(Wct),f2(t)=f1(t)-f1(t-2τ),f1(t)和 f2(t)频谱有何异同点，
f2(t)有何优点？
2写出全通系统零极点分布特点和相频变化特性
3“能量信号的能谱密度都是大于等于零的”，这个命题是正确的，请问为什么？
4“傅立叶变换满足内积不变性和范数不变性”，这个命题成立是有条件的，请
①指出成立条件②用公式表示出来
5f(t)的傅立叶变换 F(jw),LALACE 变换 F(s),请问 f(t)满足什么条件时 F(jw)=F(s)│
s=jw
6“真有理函数 H(s)是最小相位系统,则 lnH(s)在右半平面解析。”请问命题正确吗
？
为什么？逆命题成立吗？
7FIR数字滤波器一定是稳定的，请说明。
8X(k)=DFT(x(n)),X(z)=Z(x(n)),用 X(z)表示 X(k)
9要使两个有限长序列的圆卷积等于线卷积，请问如何操作。
10X'=AX,A=[λ,1:0,λ],计算 exp（At）
二、
稳定信号 f(t)通过冲击响应为 h(t)的稳定系统，则零状态响应 y(t)是稳定的。请证
明之。
三、
│H(jw)│={2(w^2+9)/[(w^2+1)(w^2+100)]}^(1/2),求最小相位函数 H(s)
四、
一个串联型数字滤波器，框图给出，很简单，系数我都记得，不过不好画图，算了
。
①计算 H(z),(要求有过程)
②指出串联型数字滤波器有何优缺点。
五、
f(t)=exp(-αt)U(t),g(t)=exp(-βt)U(t)
①求相关系数ρ
②求互相关函数 Rfg()
六、
数字理想低通滤波器 Hd(e^jw)周期为 2π
Hd1(e^jw)=exp(-jwα),│w│≤Wc;0,Wc＜│w│＜π
①把 Hd(e^jw)在频域展开成复指数形式，并求傅立叶系数 hd(n)
②选择 h(k)(k=-N,....0....N),使Hd(e^jw)'=∑h(k)exp(jwkn)(k=-N,....0....
N)
证明 Hd(e^jw)'是 Hd(e^jw)的最小均方误差逼近
③1，2是 FIR设计的实质，说明这种方法的缺点 如何改进？
清华大学 06年信号与系统
2
七、
f(t)=f(t)U(t),F(jw)实部 R(w)=α/(α^2+w^2),求 f(t)
(缺过程扣分，提示：积分公式
八、
f(t)傅立叶变换 F(w)=2AτSa(wτ)，g(t)=f(αt)和噪声信号 n(t)通过 f(t)的匹配
滤波器
噪声自相关函数 R(τ)=Nδ(τ)
①当只有 f(αt)通过匹配滤波器时，画出当α=1，1/2，2时的输出波形
②α≠1时，f(αt)和 n(t)通过 f(t)的匹配滤波器时峰值信噪比有损失，请计算
α=1/2，2时峰值信噪比损失
（可自定义峰值信噪比损失，但必须合理）
清华大学 05年信号与系统
1
一 是非判断
1 hilbert变换对不含直流分量的信号构成全通系统
2 全通系统是物理不可实现的
3 理想低通滤波器一定是线性相位的
4 理想低通滤波器是物理不可实现的
5 因为δ'＝dδ/dt，所以δ（t）＝∫（－∞，t）δ'（τ）dτ
6 H（z）是某离散系统的系统函数，H（z）、 1/H（z）在单位圆上及单位圆外解析，则该
系统是严格线性相位的
7 设 H（s）＝A/[(s-p1)(s-p2)(s-p3)],输入为 x(t)u(t),则输出 y(t)=Aexp(p1 t)*exp(p2
t) * exp(p3 t)* x(t)u(t)
8 非线性系统的全响应一定等于零输入响应加上零状态响应
二 简答题
1 x(t)是逆因果信号，设它通过一个 BIBO 的非因果系统（冲击响应 h（t））的零状态响应
为 y（t），写出用 x，h卷积表示 y（t）的表达式，并标明积分上下限。
2 命题：零输入响应与系统函数的零点无关。请判断该命题的对错，并说明原因。
3 设 F（t）＝f（t）*δ[T](t) , δ[T](t)=∑δ(t-nT),证明 F(t)是以 T为周期的函数
4 设 F(ω):f(t)的付氏变换，证明 f(t)δ[T](t)的付氏变换是以ωs为周期的函数，ωs=2
pi/T.
5 一离散系统的单位脉冲响应 h(n)=8δ(n)-8δ(n-2),试通过计算说明该系统是广义线性相
位的
6 已知 H（s）＝（s^3-s+1)/(s^2-1), 该系统是否 BIBO 稳定的，并说明原因
三 设 f(t)是一个连续信号
1 写出用一系列矩形脉冲叠加逼近 f(t)的近似表达式
2 对上式取极限，证明 f(t)=f(t)*δ(t)
四 用冲击响应不变法设计数字滤波器
清华大学 05年信号与系统
2
1 H（exp(jω))|ω=0 与 H（jΩ)|Ω=0 是否相等，并说明原因
2 若 h(t)=exp(-t)u(t),则采样间隔 T应该如何选择，请定性定量说明
五 用双线性变换法设计数字滤波器
1 H（exp(jω))|ω=0 与 H（jΩ)|Ω=0 是否相等，并说明原因
2 请推导出ω与Ω之间的关系
3 双线性变换法的最主要问题是什么
六 已知 H(s)=2s/[(s+2)^2+10^8], x(t)=(1+cos(2t))cos10^4t, 求系统的稳态响应
七 已知系统框图如下
______________________
e(t) | ╭t |
x->o-------| K ∣ |------o----->y(t)
/|\ | ╯-∞ | |
| -1 －－ ------------------ |
------------------------------------
(1) 若 x(t)=u(t），求 e(∞)
(2) 若 x(t)=sin(ω0 t + ψ0),求 e(t),y(t)的稳态解
八 已知 x(t)=u(t)-u(t-1),y(t)=u(t)-2u(t-1/2)+u(t-1)
1 求 x(t)与 y(t)的内积
2 画出 Rxy(τ)的图形，并标出关键点
3 画出 x(t)*y(t)的图形，并标出关键点
九 已知一长度为 N的有限长序列的 DFT为X(k)，求 x(n)的 Z变换
十 x(t),y(t)是能量有限信号，证明 Rxy(τ)<={Rxx(0)]^1/2 [Ryy(0)]^1/2
清华大学 04年信号与系统
1
清华大学 04年信号与系统
2
Write by BITI_lilu 2002 年清华大学信号与系统
清华大学硕士生入学考试试题专用纸
准考证号 系 别 考试时间
专 业 考试科目
试题内容 ：
一、（8 分）已知 ( ) [ ( )]X k DFT x n= ，0 n N≤ < ，求：
（1） ( )x n 的 Z 变换 ( )X z =？
（2） ( )x n 的傅立叶变换 ( )jX e ω =？
二、（6 分）线性时不变系统的频率特性如图 1-（b）所示，系统的输
入如图 1-（a）所示，请给出系统的零状态响应波形图或解析表示。
( )x t
ω
( ) 2H jω ω=
ω
( )ϕ ω
/ 2π
/ 2π−
图 1-（a） 图 1-（b）
三、（8 分）参见图 2，
∑ ( )∫ 积分 ( )Y t
图 2
（1）求系统函数 。 ( )H s
1
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（2）当 ( ) 10sin( ) ( )
4
X t t u tπ= + ⋅ 时，求系统的稳态响应。
四、（8 分）Rademacher 函数定义如下：
(0, ) 1, ( , ) sgn(sin 2 ), [0,1], 0,1,2,kR t R k t t t kπ= = ∈ = "
其中 是符号函数。 sgn( )⋅
（1）画出前 4 个（k=0,1,2,3）Rademacher 函数的波形图。
（2）证明 Rademacher 函数族时归一化正交函数族。
五、（10 分）
（1）写出线性时不变 BIBO（有界输入有界输出）稳定系统、最
小相移系统、全通系统的系统函数的一般表达式。
（2）请证明命题：任何一个 BIBO 稳定的线性时不变系统都可以
由一个最小相移系统与一个全通系统级联构成。
（3）请证明命题：在所有幅频特性相等的 BIBO 稳定的线性时不
变系统中，其中的最小相移系统的群延迟最小。
六、（10 分）参见图 3：信号 ( )x n ，0 3n≤ <
( )y n
：线性时不变系统的单位
样值响应为 ， ：输出为 。请解答一下问题： ( )h n 0 n≤ < 7
( )h n
( )y n( )x n
图 3
（1）若已知 ( )x n 和 ，请给出用 DFT 和 IDFT 求零状态响应
的运算步骤及计算公式。
( )h n ( )y n
2
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（2）在（1）中，如用 FFT 求零状态响应 ，FFT 的点数和基
应各选为何值？
( )y n
七、（10 分）“一个信号 ( )f t 不可能既是时间有限信号（即 ，当( ) 0f t =
t τ> ）又是频率信号（即 { ( )} 0F f t = ，当 ω σ> ）”是信号分析中的基
本常识之一。请论述。
八、（8 分）
（1）在数字滤波器设计中，冲激不变法和双线性变换法存在的主
要问题各是什么？
（2）采用冲激不变法对已知的 进行数字实现，请写出主要步
骤。
( )H s
（3）DFT 存在快速算法 FFT，为什么？
（4）复信号是否存在 Hilbert 变换？
九、（16 分）参见图 4，输入信号 ( ) ( ) 2 ( 1) ( 2)iS t u t u t u t= − − + −
( )oS t ( )on t
，输入
为白噪声，其功率谱密度为 ， 是输出信号， 是输出噪声，
为线性时不变系统的冲激响应。请解答以下问题：
( )in t
N
( )h t
（1）当系统为匹配滤波器时， ( )h t =？
（2）当（1）中的匹配滤波器物理可实现时， ( )h t =？并请画出
的波形图。
( )oS t
（3）滤波器输出端信噪比
2
2
( )
( )
o
o
S t
n t
ρ = 在何时取最大值 maxρ ？ max ?ρ =
3
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( )h t
( ) ( )i iS t n t+ ( ) ( )o oS t n t+
图 4
十、（16 分）参见图 5，信号序列 与白噪声序列 迭加后形成( )S k ( )n k
( )f k ， ( )f k
( )g k
通过单位样值响应为 的线性时不变系统，得到响应
， 与期望响应 比较，误差为
( )h k
( )g k ( )d k ( )kε ， , 2, 1,0,1,2,k = − −" "。
已知 、 的自相关函数分别为( )h k ( )S k ( )hhR m 和 ( )ssR m ，白噪声 的
自相关函数
( )n k
( ) ( )nnR m N mδ= ，且 与n k 不相关，即 。 ( )S k ( ) ( ) 0R m =Sn
求：
（1） ( )g k 与 ( )f k 的互相关函数 ( )gfR m =？
（2） ( )g k 的自相关函数 ( )ggR m =？
（3） 若取期望值 ( ) ( )d k S k= ，那么 ( )kε 与 ( )f k 的互相关函数
( )f ？ R mε =
( )kε( )f k ( )g k
( )h k
( )S k
( )n k ( )d k
∑ ∑
图 5
4
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准考证号 系 别 考试时间
专 业 考试科目
试题内容 ：
一、（20 分）解答以下各题（可略去推导）
（1）计算 (sin )xδ =？ ( )δ ⋅ 为冲激函数。
（2）计算 'sin ( ) ?x xδ⋅ = ' ( )δ ⋅ 为冲激偶。
（3） 2 20
0
1lim
y
y
y
x y π→>
⋅+ 是否定义了一个 ( )δ ⋅ ？为什么？
（4）计算 L -1
3 25 9 7{ }
( 1)( 2)
S S S
S S
+ + + =+ + ？
（5）已知： 2( ) ( 1) ( 2)
zX z
z z
= − − ，1 2z< < ，求 ( )x n =？
二、（20 分）见下图： ( )f t 的频谱 ( )F ω 如图 2 所示， ( )f t 作用于图 1
所示的系统， 1 ( )
2a L H
ω ω ω+= 。理想低通滤波器（LPF）的截止频率为
1 ( )
2 H L
ω ω− 。 b Hω ω> 。
（1）请画出 A、B、C、D、E、F、G、H 各点的频谱图。
（2）请标明各点幅度频谱特征值。
1
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( )f t
cos atω
2
π−
cos btω
2
π−
图 1
1
HωaωLω ωHω− aω− Lω− 0
( )F ω
图 2
三、（20 分）序列 ( )x n 作用于单位样值响应为 的零状态线性时不
变离散系统，系统输出为 。
( )h n
( )y n
（1）若 ( )x n 的幅度谱 ( )jX e ω 1= ，则 ( ) ( )yy hhR m R m= 。 ( )yyR m 和 ( )hhR m
分别为 和 的自相关函数。请予以证明。 (y n) (h n)
（2）若已经确知 ( )hhR m ，能否唯一确定 ？为什么？ ( )h n
（3）在已确知 ( )hhR m 的条件下，求具有最小相位特性的 。请
给出具体过程和相应公式。
( )h n
（4）在本题（1）小题中，若 ( )x n 为白噪声序列， ( ) ( )xxR m mδ= ，
命题是否成立？为什么?（ ( )mδ 为单位样值序列）
四、（10 分）因果信号 ( )x t
)
作用于冲激响应为 的零状态线性时不变
因果系统，输出为 。若系统为有界输入有界输出稳定（BIBO 稳
定），则当
( )h t
(y t
( )x t 具有有限能量时（ 2
0
( )x t dt k
∞ ≤ < ∞∫ ），输出 也具有有
限能量。请证明。
( )y t
2
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五、（10 分）在 Z 变换的定义中，若以 1z− 代替 ，可以得到 z 变换另
一种形式的定义，如下面（﹡）式所示
z
( ) { ( )} ( ) n
n
X z Z x n x n z
∞
=−∞
= ∑� （﹡）
请根据（﹡）式定义针对因果线性时不变系统给出：
（1）有界输入有界输出稳定的 z 域充要判据；
（2）全通系统的零点和极点分布规律；
（3）最小相位系统的零点和极点分布特征。
六、（10 分） ( )x t 的连续子波变换可写为 *1( , ) ( ) ( )x
t bWT a b x t dt
aa
ψ∞−∞
−= ∫ ，
其中﹡表示取共轭。若 F { ( )} ( )x t X ω= ， F { ( )} ( )tψ ω= Ψ ，则
*( , ) ( ) ( )
2
j b
x
aWT a b X a e dωω ωπ= Ψ ω
∞
−∞∫ 成立。请予以证明，并请说明 a、b
的含义。式中， 。 0, 0a b> >
七、（10 分）若 ( )f t 的傅立叶变换 ( )F ω 为 ω 的实因果信号，即
( ) ( ) ( )F F Uω ω ω= ⋅ ， ( )U ω 为ω的单位阶跃函数，则 ( ) ( ) ( )R lf t f t jf t= + ， ( )Rf t
和 ( )lf t 为实信号，且 ( )Rf t 和 ( )lf t 为 Hilbert 变换对。请予推导。
（提示：F 1{ ( )} ( )u t
j
πδ ωω= + ）
3
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专 业 考试科目
试题内容 ：
一、（10 分）计算。可以省略过程而直接在等号后面给出结果。
1． ( ) ( )t f t dtδ α∞−∞ − =∫
其中， ( )f t 为连续有界函数， ( ,t )∈ −∞ ∞ ，α >0。
2. 0( ) ( )t f t tδ α∗ − =
其中， ( )f t 为连续有界函数， ( ,t )∈ −∞ ∞ ，∗表示卷积。
3. ( )fδ α 的 Fourier 反变换 1{ ( )}F fδ α− =
4. ( ) 2t tδ + 的 Laplace 变换 { ( ) 2 }L t tδ + =
请标明收敛域。
5. 4
4 1s + 的 Laplace 逆变换
1 4{ }
4 1
L
s
− =+
6. 序列 ( 2n )δ + 的Z变换 { ( 2)}Z nδ + =
请标明收敛域。
7. 已知 ，求( ) 1X z = ( )x n =
8. 已知 1( ) ( ) ( )2x n n n n nδ δ= − + + ，0< < < 。 1n 2n N
求 ( )x n 的 DFT，即 ( )X k =
二、（16 分）判断正误，正确画 O 或√，错误画×，不画不给分。
1．（ ）一个全通系统与一个最小相位系统级联所组成的新系统必是
最小相位的。
1
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2. （ ）一个系统 T，对输入信号 ( )f t 的运算规则为
{ ( )} ( , ) ( )T f t K x t f t dt
∞
−∞= ∫ ， 是已知函数，则系统 T 必为线性系
统。
( , )K x t
3. （ ）非线性系统的全响应必等于零状态响应与零输入响应之和。
4. （ ）复变信号的希尔伯特变换无定义。
5. （ ）周期信号的 Fourier 级数必处处收敛。
6. （ ）A 和 B 均为 方阵，则必有 。 n n× ( )A B t At Bte e+ = e
7. （ ）两个有限序列的圆卷积（循环卷积）必等于它们的线卷积。
8. （ ）全通系统必为无失真传输系统。
9. （ ）由已知信号 ( )f t 构造信号： ，则 为周期
信号。
( ) ( )
n
F t f t nT
∞
=−∞
= +∑ ( )F t
10. （ ）线性定常系统的频率响应一定等于系统冲击响应的富立叶
变换。
三、（15 分）信号 作用于 1( ) ( )T
n
t tδ δ∞
=−∞
= −∑ nT
] 0( ) [ ( ) ( )j t c cH j e u uωω ω ω ω ω−= + − −
的理想低通滤波器，其中， >0，0t 1 12 /Tω π= ， 1Nω < cω < 1( 1)N ω+ , 为
正整数， 为单位阶跃函数。求系统的响应。
N
( )u ⋅
四、（8 分）已知系统函数 1( )
1
H s
s
= + 。若输入信号为 ( ) sin( ) ( )x t t u= ⋅ t ，
为单位阶跃信号，求稳态响应( )u ⋅ ( )sY t =？（可省略过程）。
2
Write by BITI_lilu 2000 年清华大学信号与系统
五、（10 分）线性时不变系统的状态空间方程为
( ) ( ) ( )t A t B t= +iX X V
( ) ( ) ( )t C t D t= +Y X V
式中：X为 n 维向量，V为 y 维向量，Y 为 m 维向量。请推导系统函
数阵（又称转移函数阵） 。 ( )H s
六、（32 分）已知三角脉冲 ( ) (1 2 / )[ ( / 2) ( / 2)]f t E t u t u tτ τ τ= − + − − 及其频
谱 2( ) ( )
2 2
EF Saτ ωτω = ⋅ ，其中 >0,E τ >0。请回答以下问题：
1. 画出 ( )f t 和 ( )F ω 的图像，并标明特征点。
2. 求 ( ) ( ) ( )p Tf t f t tδ= ∗ 及其 Fourier 变换 ( )pF ω ，并画出 ( )pf t 和 ( )pF ω 的图
象。其中， ，且T( )T
n
tδ ∞
=−∞
= ∑ ( )tδ − nT τ� ，∗表示卷积。
3. 在第 2 小题基础上，画出 ( ) ( ) [ ( )]ps p s
m
f t f t t mTδ∞
=−∞
= ⋅ −∑ 及其 Fourier 变
换的图像。其中， sT τ� ， sN T T⋅ = N， 为整数。
七、（9 分）系统信号流图如下图所示
1z−
1z−
1z−
1z−
( )X n ( )Y n
1. 写出表示系统输出和输入关系的差分方程。
2. 求系统函数 。 ( )H z
3
2006 年考研 THU 信号与系统试题参考解答 (v1.0)
编辑：jehovah0121@newSMTH
校勘：cmczcs@newSMTH
说明：
1. 以下内容均为作者 YY，不保证其正确性、有用性，不对使用者负任何责任！
2. 考试时，在时间允许的情况下，解答应该尽量详细和严谨。
试卷
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满分 150分，答题时间 3小时。
一、问答题
1．比较 ( ) (1 Sac c )f t tω ωπ= 和 ( ) ( ) ( )2 1 1 2f t f t f t τ= − − 频谱的异同点，说明后者的优点。
解答：做 Fourier变换知
( ) ( ) ( )1 c cF u uω ω ω ω ω= + − −
( ) ( ) ( ) ( )2 12 exp sinF j j Fω τω τω ω= −
可以看出二者具有相同的截止频率 cω ，都具有线性相位特性。但 ( )2 0 0F = ，说明后者没有
直流分量，适于带通系统的传输。另外， ( )2F ω 的下降沿比较平缓，如作为系统函数接近于
物理可实现系统，并且τ 的引入使得其群延时特性可调。■
2．写出全通系统零极点分布特点和相频特性。
解答：对于连续时间系统，全通系统的零、极点关于 s平面虚轴对称分布，零点都在虚
轴右侧，极点都在虚轴左侧，这样 ROC才能是一个右半平面。另外，可以证明，全通系统
其相频特性有关于频率单调递减的特性。
对于离散时间系统，全通系统的零、极点关于 z平面单位圆对称分布，零点都在单位圆
外，极点都在单位圆内。频率特性亦单调递减。■
1
3．“能量信号的能谱密度都是大于等于零的”这个命题是正确的，请问为什么？
解答：感觉这题是废话。答案应该有两个要点：
(a) 能量信号的 Fourier变换是存在的；
(b) 能谱密度定义为 Fourier变换的模的平方。■
4．“傅立叶变换满足内积不变性和范数不变性”这个命题成立是有条件的，请说明条件
并用公式表示。
解答：条件是讨论的两个信号都是能量信号。公式表示从略。■
5．信号 ( )f t 的 Fourier变换为 ( )F ω ，Laplace变换为 ( )F s 。请问，当 ( )f t 满足什么条
件时有 ( ) ( ) s jF F s ωω == ？
解答：
(a) ( )F ω 中不能出现奇异函数，故而要求信号为 BIBO稳定的。
(b) 因为 Laplace 变换不加说明总是指单边的，故而要使等式成立，要求 ( )f t 为因果的。
■
6．请问命题“若真有理函数 ( )H s 为最小相位的，则 ( )ln H s 在右半平面解析”是否正
确？为什么？逆命题正确吗？
解答：
(a) 原命题正确。因为最小相位系统要求零点和极点全在 s 平面的左半平面，故而
( )ln H s 的奇点都在左半平面，于是在右半平面解析。
(b) 逆命题错误。右半平面指右半开平面，故而 ( )ln H s 的解析区域无需包含虚轴，所
以 ( )H s 可能有零点或极点在虚轴处。如 ( ) 1H s
s
= 。■
7．FIR数字滤波器必为稳定系统，试说明。
解答：纯属废话。■
2
8．若 ( ) ( ){ }DFTX k x n= ， ( ) ( ){ }X z x n=Z 。适用 ( )X k 表示 ( )X z 。
解答：设 ( )x n 的支集为 ，则 0 1n N≤ ≤ −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 1 1(a)
1
0 0 0
1
1 1
1
N N N
n nl
N
n n l
NN N Nnl
N l
l n l N
X z x n z X l W z
N
X lzX l W z
N N
− − −− −
= = =
−− − −−
n
W z
−
− −
= = =
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
−= = −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
上面(a)处进行了等比数列求和，忽略了公比 1 1lNW z
− − = 的可能。■
9．要使两个有限长序列的圆卷积等于线性卷积，请问如何操作？
解答：在两个序列(分别长为 M, N)后面补零，使两序列等长为 L且 。这样，
两序列以这一长度作圆卷积时就不会因为周期性而发生混叠，从而在 L 为周期的主值区间
内与线性卷积结果相同。■
1L M N≥ + −
10．若
1
0
λ
λ
⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠A ⎟，计算
( )exp tA 。
解答：有两种方法。
第一种方法，直接求特征值，可得到A有二重特征根 λ。设 ( ) 0 1exp t c c= +A I A
t
，则
0 1 0
1 1
t t
t t
e c c c e te
te c c te
λ λ λ
λ λ
λ λ⎧ ⎧= + = −⎪ ⎪⇒⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩
于是
( ) ( ) 1 0 1exp 0 1 0 0
t t
t t t
t
e te
t e te te
e
λ λ
λ λ λ
λ
λλ λ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A
第二种方法，利用 ( ) ( ){ }11exp t s −−= −A IL A 可以对 0t −≥ 得到同样结果，但对 的
情形仍需再作讨论，即研究
0t −<
( )exp tA 的左边 Laplace 变换。考试的时候不用此种方法为妙。
■
二、已知 LTI系统幅频特性为
3
( ) ( )( )( )
2
2 2
2 9
1 10
H
ωω ω ω
+= + + 0
且系统满足最小相位条件，求系统函数 ( )H s 。
解答：送分题。我们由题意知
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )
2
2 2
2 9
1 10
2 3 3
1 10 1 10
s
H s H s
s s
s s
s s s s
−− = − − −
+ −= + + − −
0
取
( ) ( )( )( )
2 3
1 10
s
H s
s s
+= + +
即可使 满足最小相位条件。■ ( )h t
三、试证明：稳定信号通过稳定的 LTI系统，其零状态响应为稳定的。
解答：送分题。设输入为 ( )f t ，LTI系统的冲激响应为 ( )h t ，输出为 ( )g t 。我们已知
( ) ( ),f t dt g t dt< ∞ <∫ ∫ ∞
于是
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
g t dt f t h d dt f t h d dt
f t dt h d f t dt h t dt
τ τ τ τ τ τ
τ τ
= − ≤ −
= =
∫ ∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫ ∫ < ∞
注意，本题中的所有积分均为定积分，积分区间为\。■
四、题目未得以完整保留。
本题大致是关于数字滤波器的，给出级联型数字滤波器框图求系统函数，并说明级联型
数字滤波器的优缺点。
级联型数字滤波器的优点包括：
(a)可以单独调整每对零点或极点的分布；
(b)同一个二阶节可以分时使用，简化硬件结构；
缺点主要是，虽然理论上各子系统可任意排列，但对有限精度运算来说不同组合有不同
量化效应，考虑起来比较复杂。■
4
五、已知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp , expf t t u t g t tα β= − = − u t ，其中 , 0α β > 。
1．求二者的相关系数 ρ 。
2．求互相关函数 ( )fgR τ 。
解答：送分题。
1． 2 αβρ α β= +
2． ( )
( )
( )
exp
0
exp
0
fgR
ατ τα βτ βτ τα β
⎧ − ≥⎪ +⎪= ⎨⎪ <⎪ +⎩
■
六、数字理想低通滤波器的系统函数为
( ) ( ) ( ) ( )( )exp ,jd cH e j u uω c cωα ω ω ω ω ω= − + − − < π
1．求冲激响应 并绘图。 ( )dh n
2．求 ( ) ,h k N k N− ≤ ≤ ，使得 ( )jH e ω 是给定 N时 ( )jdH e ω 的最小均方误差逼近。
3．前面 1和 2是 FIR数字滤波器设计的实质，说明此种方法的缺点和改进手段。
解答：
1．送分题，答案为 ( ) ( )( )
sin c
d
n
h n
n
ω α
π α
−= − ，图略。
2．题目回忆版可能不准确，但总的来说这一小题要求使用 Parseval 定理，于是均方误
差在时域和频域可以等价表示为
( ) ( ) ( ) ( )2 22 1
2
j j
d d
n
H e H e d h n h n
π ω ω
πε ωπ
+∞
− =−∞
= − = −∑∫
要使得上式右端最小，在给定了 N的情况下自然要取 ( ) ( ) ,dh n h n n N= ≤ 。■
七、已知 ( ) ( ) ( )f t f t u t= ，且 ( ){ } 2Re F 2αω α ω= + ，其中 ( ) ( ){ }F f tω = F 0，α > 。
提示： 2 2 2
1
2
α ω
α ω πω α ω∗ =+ + 。
5
解答：记 ( ){ } ( )Re F Rω ω= ， ( ){ } ( )Im F Iω ω= 。由 ( ) ( ) ( )f t f t u t= ，两边取 Fourier
变换得到
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
2 2
F F F F
j j
ω ω πδ ω ω ω 1
2π ω π
⎛ ⎞= ∗ + = + ∗⎜ ⎟⎝ ⎠ ω
即
( ) ( ) 1F F
j
ω ω πω= ∗
带入实部和虚部的表示式，有
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1R jI R jI
j
ω ω ω ω πω+ = + ∗
可推知
( ) ( ) 2 2 2 21 1I R α ωω ω πω α ω πω α ω= − ∗ = − ∗ = −+ +
从而
( ) ( ) ( ) 1F R jI
j
ω ω ω α ω= + = +
到这里为止都是送分的。本来应该对这个变换很熟悉而直接写出 ( ) ( ) ( )expf t tα= − u t ，
但是据说这部分没有过程将被扣分(cmczcs认为：这个相当汗，不过我想大家都会直接写结
果吧。都扣分，Yeah！)，所以这里提供一种比留数方法易于理解(也许不那么严谨)的方法。
容易看出
( ) ( )1 j F j F
j
α ω α ω ω ωα ω
+= = ++
取 Fourier反变换，利用微分定理，得到
( ) ( ) ( )t f t fδ α t′= +
利用一阶线性微分方程的解法(这样做可能颇为不严谨，因为 Dirac函数的存在)，可得
( ) ( ) ( ) ( )exp expf t t u t C tα α= − + −
再利用 ( ) ( ) 10F f t dt α= ∫\ = 这个条件，可知 0C = 。真有脱了裤子放屁的感觉……■
八、 ( )f t 的 Fourier变换为 ( ) ( )2 SaF Aω τ ωτ= ， ( ) ( )g t f tα= 与加性噪声 通过( )n t ( )f t
的匹配滤波器， 的自相关函数为( )n t ( ) ( )R Nτ δ τ= 。这里 , , 0A τ α > 。
6
1．不考虑 ，画出( )n t 11, ,2
2
α = 时的输出波形。
2． 1α ≠ 时， ( ) ( )g t n t+ 通过 ( )f t 会产生失配。计算 1 ,2
2
α = 两种情况下的失配比。注
意：可自行定义失配比，但必须合理。
解答：
1．若 ( )f t 的匹配滤波器冲激响应为 ( )h t ，则有 ( ) ( )0h t kf t t= − ，而 都是在本题中
无关紧要的常数，可以忽略。我们有
0,k t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 SaF A f t A u t u tω τ ωτ τ τ= ⇒ = + − −
之后步骤从略。
2．设匹配时的峰值．．信噪比为
0S
N
，即输出信号功率最大时的信噪比，或者说就是匹配点
的信噪比，另外失配时峰值信噪比为 S
N
α 。则不妨定义失配比为 0S N S
S N Sα
0
α α
ρ = = ，即匹配时
输出信号与失配时输出信号的峰值功率之比。
不难计算，这样定义之下 1 2
2
11,
4
ρ ρ= = ，或用对数表示为 0dB和-6dB。事实上， 1α = 时，
输出信号为三角形；当 1α > 时，输出信号为梯形，且梯形的高为前述三角形的高的 1α 倍，
所以峰值功率变为 2
1
α ；当 0 1α< < 时，输出信号也是梯形，但梯形的高与三角形的高相等。
■
7
五年专注考研专业课辅导
清华大学 2009 年信号与系统考研试题回忆
一、五小问，25 分
1、Sin（wt+3/4pi）的自相关函数（这个题跟书上的例题很相近，书上是 cos（wt））
2、s 域到 z 域的映射关系 3、非最小相移系统（z-1.5）/（z-0.5）用全通函数与最小相
移函数表示，分别写出二者系统函数 4、给出一个 H（s）表达式，求滤波器函数 H（z）。
（可参考第八章课后题）
5、F（w）是带限信号，h（t）为矩形信号。用 h（t-nT）（n 跑遍整个时域）进行抽样，
题目给出条件是满足采样定理的，求频域的采样函数。
二、八小问，40 分，最好简明，能用公式表示要用公式。
1、DTFT 的频域是周期的么？为什么？
2、白噪声通过匹配滤波器还白不白？为什么？
3、一个信号是带限还是不带限，或是二者皆有可能。为什么？
4、给了一个 H（z）= ， 求冲击响应，若 求冲击响应。A，B 忘记具体数值，此题属
于常规题目，历年多次涉及。
5、6、全通系统经过双线性变换还是不是全通函数？
7、用 DFT 分析连续信号的步骤，并说明由此产生了什么效应，误差。
8、以下三至七各 10 分
三、求 f（t）的傅里叶变换，信号是三个三角函数，可以参考书上例题。
四、|H（jw）|2= 1/（1+w4），求其相应的最小相移函数，求最小相移函数的冲击响应。
五、全通函数的零极点分布特性，用关系式描述，要写出 s 域与 z 域的。
五年专注考研专业课辅导
六、
浙公网安备 33021202002483