统计假设检验中的两类错误

第 19卷第 2期 Vo1．19。No．2 滨州师专学报 Joumal of Binzhou Teachers College 2003年 6月 Jun．，2003 文章编号：1008—2980(2003)02—0038一O3 统计假设检验中的两类错误’ 邱 芳 (滨州师范专科学校，山东 滨州 256604) 摘 要 ：在统计假设检验中，讨论 了两类错误的关系以及如何同时减少犯两 类错误的概率，并给 出了对单侧统计检验问题应如何选取合适的检验假设． 关键词：假设检验 ；两类错误；概率 中图分类号 ：0 212．1 文献标识码 ：A 假设检验的思想和方法的根据是小概率原理，具体地说当我们对问题提出原假设 Ho和备择假设 Hl， 并要检验 H。是否可信时，可以先假设 Ho是正确的，在此假定下，经过一次抽样，若发生了一个小概率事 件，可以根据“小概率事件在一次实验中几乎不可能发生”的理由，怀疑原假设 H0不真，而作出拒绝 Ho的 决定，反之，如果小概率事件没有发生，就没有理由拒绝Ho，从而接受 H5¨． 由于抽样的随机性，利用小概率原理对 H。是否成立作出判断时，难免要犯两类错误．本文所要考虑 的问题是：在统计假设检验中，两类错误的关系是什么，有无办法同时减少犯两类错误的概率，特别是在单 侧检验时，如何选取合适的检验法． I 问题的引入 例 根据长期的经验和资料 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，某砖瓦厂所生产的“抗断强度”x服从正态分布，方差 = 1．21， 今从该厂所生产的一批砖中，随机抽取 6块，测得抗断强度(单位：kg／cm2)为32．56，29．66，31．64，30．o0， 31．87。31．03．问这一批砖的平均抗断强度可否超过 30 kg／cm ? 解 设 X ～N(p， )，已知 ：1．21，检验问题 ：Ho： ≤ 30一Hl： >30．设 口=0．05，现在 = 6，0．2： 1 ．21，故 ／1o+ o：30．74．所以 UMP检验为 √ O f1，若 >30．74， 。 10。否则． 现在根据所给的样本值 32．56，⋯，31．03计算出 =31．3> 30．74，故样本值落入了否定域，因而应 否定 Ho： ≤ 30，所以可以认为这批砖的平均抗断强度超过 30 kg／cm ． 另解 若检验问题：Ho≥30++H ： <30．同样设口：0．05，由 ：6， 2：1．21，则 。一 笋 。 、，0 =29．26．所以 UMP检验为 ， f1，若 < 29．26， 。 10。否则． 现有数据 =31．3，则由 o，否定 Ho，即砖的强度超过 30 kg／cm2；由 ，不否定 Ho，即砖的强度超过 · 收稿 日期 ：2003—03—11 作者简介 ：邱 芳(1974一)，女，山东滨州人，滨州师专数学系，讲师。从事概率论与数理统计研究． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 2期 邱 芳 统计假设检验中的两类错误 39 30 kg／cm2．现在问题是，若 ∈(29．36，30．74)，则由 o，不否定 Ho，即砖的强度不超过 30 kg／cm ，由9 ， 不否定 Ho，即砖的强度超过 30 kg／cm2。这出现了矛盾，为什么? 2 问题的解决 2．1 两类错误 2．1．1 g一类错误 如果原假设 Ho成立，而观察值落入否定域，从而作出拒绝 H0的错误结论，称作第 一 类错误 ．第一类错误是“以真当假”．犯第一类错误的概率不超过显著性水平 a． 2．1．2 g二类错误 如果原假设 H0不成立，而观察值未落入否定域，从而作出接受 Ho的错误结论，称 作第二类错误 ．第二类错误是“以假当真”．犯第二类错误的概率记作 [¨． 2．2 在进行单侧检验时。最好把原假设 H0取为预想的结果的反面 上述问题之所以出现矛盾，是因为在两类不同的假设检验中，要考虑第一类错误与第二类错误之间的 关系．一般情况下，在进行单侧检验时，最好把原假设 H0取为预想的结果的反面．这是因为当否定 Ho得 到预想的相同的结果时，犯错误的概率为 a，而 a是可以控制的，但是犯第二类错误 的概率其具体大小 不知道。通常是不可控制的[ ． 2．2 优良的假设检验准则应使犯两类错误的概率尽可能的小 两类错误 a与 之间一般没有明确的解析式，但一个优 良的假设检验准则应使犯两类错误的概率尽 可能的小． 定理 设正态总体的方差盯 =盯3已知，均值 只可能取 。或,ul( o< 1)二者之一，设 l，a72，⋯， 是来 自此总体的一个简单随机样本，检验假设：H0： = 。一Hl：／1= 1．当样本总量 给定时，犯两类 错误 a与 的概率不能同时减小，若减小其中之一，另一个往往就会增加． 证明 已知样本均值 = 1∑ 是总体均值 的一个优良的估计量，且 o<,ul，因此当X一,uo 过分大时，则说明 H0不真，因此其拒绝域的形式为 x 一 o≥ c． 此时犯第一类错误的概率为 口=P(拒绝 凰 f Ho为真)=P(X一 o≥ f f =,uo)= PI X- ．√ ／~o aol 71 ≥ a ol 71 l ， 由正态分布的性质可知，当 Ho为真，即 = 。时， ～ N(O，1)， ool J 口： 1一 ( )． (1) 其中 ( )为 N(O，1)分布的分布函数，从而可得 a与c的关系为 一 h 或c z ， 这里 zl一。为 N(O，1)分布的上侧 1一a分位数，由此也看到，通过适当调整 c可改变a的值． 此问题中，犯第二类错误的概率为 = P(接受 Ho I Hl为真)= P(X一,uo< c I = 1)= P[ < -]， 维普资讯 http://www.cqvip.com 滨州师专学报 第 19卷 当Hl为真时， ÷ ～N(O，1)，从而 ao／ √ 卢 = ( )： ( l一 一 )． (2) ao／ √，z o／ √ 由 (z)的单调不减性及(1)，(2)式可知，当 a减小时， l一 增大，故 l一 一 也增大，从而卢增大； 反之，若减小 ，则 l一 一 也随着减少，即 ZI-a减小，从而使 a= 1一 (ZI-a)增大，由此可见，在 样本容量 固定的情况下，要同时减小 a和卢是不可能的．证毕 ． 但若允许样本量 ，z变化，则同时减小 a和 是可能的，事实上，由(1)式及正态分布的对称性可知 l一卢=一( l一 一 )， 即 ． (3) 若使样本容量 ，z增加，可知 l一 和 l一口可同时增加，即 a和 同时减小，另外，由(3)式可知，若给定 a或 其中之一，通过增加 r／，减小犯第一类错误的概率也是可能的． 3 结 论 (1)犯两类错误的概率是相互有关联的．当样本容量 r／固定时，犯第一类错误的概率的减小会导致犯 另一类错误的增加． (2)犯第一类错误的概率 a可以通过适当改变检验的拒绝域来进行调整 ． (3)当样本容量 ，z给定时，由于很难得到第二类错误 的表达式，在实际应用中，一般只是对犯第一类 错误的概率加以控制，特别是在进行单侧检验时，最好把原假设取为预想的结果的反面 ． (4)当零假设 H0不真时，参数的真值越接近零假设下的值时，犯第二类错误的概率 就越大． (5)要同时降低犯两类错误的概率 a和卢，或者要在保持 a(或 )的条件下降低 (或 a)，需要增加样 本容量 ． 参 考 文 献 ： [1] 陈家鼎，孙山泽，李东风．数理统计学讲义[M]．北京：北京大学出版社，1997．82—88 [2] 耿素云，张立昂．概率统计解题[M]．北京：北京大学出版社，1999．256—258． On Study of Two Types of Errors in Statistical Hypothesis Testing QIU Fang (Binzhou Teachers College，Binzhou 256604，China) Abstract：In statistical hypothesis testing，the relationship of tWO types of errors and how tO reduce the probability of them are discussed，and how tO choose the appropriate testing method of one—sided statistical test iS also offered． Key words：hypothesis testing；tWO types of errors；probability 维普资讯 http://www.cqvip.com