一、中世纪的欧洲第5讲.冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起三、解析几何的诞生二、向近代数学的过渡大约在公元500年左右才开始出现新文化公元5~11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期出现一些水平低下的算术和几何教材：博埃齐：选编了《几何》、《算术》等教科书,《几何》仅包含《原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测量术；《算术》则是根据四百年前尼科马库斯的一本浅易的著作编写的。比德(V.Bede,674~735)、热尔拜尔(Gerbert,约950~1003)等人也讨论过数学.前者研究过算术中的指算，据说后者可能把印度-阿拉伯数字带入欧洲。直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏是由于受
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、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激开始。文艺复兴的意大利成为东西方文化的熔炉.古代学术传播西欧的路线如图5.1所示一、中世纪的欧洲数学著作的翻译：阿德拉特：《几何原本》、花拉子米天文
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；普拉托：巴塔尼《天文学》、狄奥多修斯《球面几何》以及其它著作罗伯特：花拉子米《代数学》等杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻译成拉丁文.包括《大汇编》,《原本》,《圆锥曲线论》,《圆的度量》等斐波那契：《算盘书》(Abaci,1202)印度-阿拉伯数码，分数算法，开方法，二次和三次方程，不定方程，以及《几何原本》和希腊三角学的大部分内容兔子问题：有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？斐波纳契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233二、向近代数学的过渡1.1三、四次方程求解：费罗(S.Ferro,1465~1526)：发现形如的三次方程的代数解法，并将解法秘密传给他的学生费奥塔塔利亚:宣称可以解形如的三次方程,并最终将解法传授与卡尔丹1代数学《论数字与度量》（1556－1560）：数学百科全书和16世纪最好的数学著作之一卡尔丹：《大术》(或《大法》1545年)三次方程x3=px+q(p,q>0)的解法：实质是考虑恒等式：(ab)3+3ab(ab)=a3b3若选取a和b，使3ab=p，a3b3=q，（*）由（*）不难解出a和b，于是得到ab就是所求的x.后人称之为卡尔丹公式。卡尔丹还对形如x3=px+q(p,q>0)的方程给出了解的公式：x=a+b其中对于带有二次项的三次方程，通过变换总可以将二次项消去，从而变成卡尔丹能解的类型。费拉里(L.Ferrari,1522~1565)：四次方程求解其解法是利用一个变换：将一般四次方程简化为(这总可以做到)由此进一步得到于是，对于任意的z，有再选择适当的z，使上式右边成为完全平方式，实际上使即可。这样就变为z的三次方程。费拉里所讨论的四次方程类型主要有以下几种卡尔丹：将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，给出几何证明；认识到三次方程有三个根，四次方程有四个根；对三次方程求解中的所谓“不可约”情形感到困惑，认为复根是成对出现的；卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于x2项的系数的相反数，每两根乘积之和等于x项的系数，等等1572年,意大利数学家邦贝利在其所著教科书《代代数》中引进虚数，用以解决三次方程不可约情况，并以dimRq11表示-11。牛顿在其《普遍的算术》中证明复根成对出现荷兰人吉拉德《代数新发现》(1629)作进一步的推断：对于n次多项式方程，如果把不可能的(复数根)考虑在内，并包括重根，则应有n个根。根与系数的关系问题后来由韦达、牛顿和格列高里等人作出系统阐述。*法国代数学：韦达：《分析方法入门》(1591)、《论方程的整理与修正》(1615)、《有效的数值解法》(1600)等方程论著作给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法。笛卡儿：1637年,首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求解.《几何学》中提出因式分解定理：f(x)能为(x-a)整除,当且仅当a是f(x)=0的一个根;未加证明叙述了n次多项式方程应有n个根的论断,以及“笛卡儿符号法则”:多项式方程f(x)=0的正根的最多个数等于系数变号的次数,负根的最多个数等于两个正号与两个负号连续出现的次数.韦达：《分析引论》(1591)第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,辅音字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符号性代数称作“类的算术”.同时规定了算术与代数的分界,认为代数运算施行于事物的类或形式,算术运算施行于具体的数.使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛.韦达的符号代数保留着齐性原则，要求方程中各项都是“齐性”的，即体积与体积相加，面积与面积相加.1.2符号代数的引入韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德的《代数新发现》和奥特雷德(Oughtred,1575~1660）的《实用分析术》所继承。特别是通过后者的著作使得采用数学符号的风气流行起来。对韦达所使用的代数法的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个（a,b,c,d,…）表示已知量，后几个（x,y,z,w,…）表示未知量，成为今天的习惯。到十七世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中特意使用符号具有很好的功效。并且使数学问题具有一般性。部分文艺复兴时期出现的缩写代数符号：帕西奥里（意，1445－1517年）（意，1994）1494年《算术集成》：继斐波那契之后第一部内容全面的数学书猫捉老鼠问题：一只老鼠在60英尺高的白杨树顶上，一只猫在树脚下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又上升1/6英尺；猫每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4英尺；这棵树在猫和老鼠之间每天长1/4英尺，晚上又缩1/8英尺。试问猫要多久能捉住老鼠？符号使用者时间方根RFibonacci(1170~1250,意)1202年加，减p,mPacioli(约1445~1517,意)1494年加，减+,-J.Widman（德）1489年减~Oughtred（英）1631年等于=R.Recorde（英）1557年等于~Vieta（法）1591年等于Descartes（法）1637年乘Oughtred（英）1631年乘Oughtred（英）1631年运算或关系比例：：Oughtred（英）1631年除J.H.Rahn(1622~1676,瑞士)1659年大于,小于>,
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数表,除正余弦表外,还有正切表。首次对三角学作出完整、独立的阐述,使其开始在欧洲广泛传播。维尔纳(Werner,1468~1528)：《论球面三角》(1514)改进了将雷格蒙塔努斯的思想。雷提库斯：将传统的弧与弦的关系,改进为角的三角函数关系,并采用了六个函数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，编制了间隔为10“的10位和15位正弦表。韦达：将平面三角与球面三角知识系统化.在《标准数学》(1579)和《斜截面》(1615)中,把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起,其中包括自己得到的正切公式：建立解球面三角形的方法与一套公式,给出帮助记忆这些公式的今天所谓的“纳皮尔法则”.这些球面三角公式大都是托勒玫建立的,但也有韦达自己的公式,如（A为钝角）尤为重要的是韦达还将一套三角恒等式改成代数形式。16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。3从透视学到射影几何圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，以及其它高等曲线。天文观测的需要，光学又日益成为文艺复兴时期的一个重要课题。文艺复兴时期的几何创造其动力来自艺术。中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标.画家们在将三维现实世界由于绘画、制图的刺激导致透视学的兴起,从而诞生了投影几何学。布努雷契：由于对数学对兴趣而认真研究透视法，他试图运用几何方法进行绘画。阿尔贝蒂：《论绘画》(1511)早期数学透视法的代表作。引入投影线、截影等概念，还讨论了截影的数学性质，成为射影几何发展的起点。绘制到二维的画布上时,面临的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影得同一物影,那么这两个物体有何共同的几何性质？蒙娜丽莎达芬奇自画像德沙格(G.Desargues,1591~1661)：系统讨论透视法的第一人.他研究投影法的动机是希望证明阿波罗尼奥斯圆锥曲线的定理.1636年发表第一篇关于透视法的论文.代表作是1639年发表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》,书中引入70多个投影几何术语,有些很古怪,如投影线叫“棕”,标有点的直线叫“干”,其上有三点成对合关系的直线叫“树”等等。创造性思想：从焦点透视的投影与截影原理出发,对平行线引入无穷远点的概念,继而获得无穷远线的概念;讨论了今天所谓的笛沙格定理:投影三角形ABC和A‘B’C‘的对应边(或延长线)交点Q、R、P共线。反之，对应边交点共线的三角形，对应顶点连线AA'、BB'、CC'共点O。德沙格在他朋友鲍瑟1648年发表的一本关于透视法著作的附录中,发表了三角形其它一些射影性质的结论,其中包含投影变换下交比不变性定理。ABCDQRPABCC’A’B’OOA’B’C’D’一直线上的四点A、B、C、D间的线段构成的比定义为它们的交比.笛沙格从投影观点考虑，证明了投影线的每个截线上的交比都相等。从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。笛沙格利用射影原理证明了：在圆锥曲线的内接四边形中，任一不过顶点的直线与圆锥曲线以及与完全四边形对边相交的四对点具有对合关系。在对合概念的基础上引入共轭点与调和点组的概念，认为对合、调和点组关系在投影变换下具有不变性。在调和点组概念基础上，笛沙格进一步研究了极点与极带理论。利用这些理论处理了阿波罗尼奥斯的圆锥曲线，他将圆锥曲线的直径视作无穷远点的极带，通过投影和截影这种新的证明方法，统一处理了不同类型的圆锥曲线。法国另一位数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623~1662）十六岁时就开始也研究投射与取景法,他曾接受笛沙格的建议把圆锥曲线的许多性质简化为少数几个基本命题,1640年完成著作《略论圆锥曲线》,不久失传,后于1779年被重新发现.在射影几何方面他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理:圆锥曲线的内接六边形对边交点共线.（1）一个数学对象从形状连续变化到另一形状；（2）变换与变换不变性；（3）几何新方法——仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。十七世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然,用代数方法处理数学问题一般更为有效,也特别容易获得科技所需要的数量结果,而射影几何学家的方法是综合的,而且得出的结果也是定性的,不那么有用.因此,射影几何产生后不久,很快就让位于代数、解析几何和微积分,终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其它学科.笛沙格、帕斯卡、希尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘,迟至十九世纪才又被人们重新发现.拉伊尔:(P.delaHire,1640~1718)《圆锥曲线》(1685)中首先证明了有关调和点组的圆的性质,再通过投影和取截影,将这些性质推广到圆锥曲线上,证明了阿波罗尼乌斯的364个关于圆锥曲线的定理中的300个.其结果并未超过笛沙格与帕斯卡的工作,最突出的地方在于极点理论方面有所创新,获得并且证明了命题：若一点Q在直线p上移动,则该点Q的极带将绕那直线p的极点P转动.德沙格等人把这种投影分析方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，从而在十七世纪人们对二者不加区别。但我们应该认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新的数学思想和观点：4计算技术与对数科学成果在工程技术上的应用以及实践上的需要,对计算技术提出了前所未有的要求.如：地理探险与海洋贸易需要更为准确的天文知识;以精确观测为基础的新天文学说需要精密的天文数表,特别是三角函数表;日益发展起来的银行业务和商务活动也需要更好的计算技术.由于算术方面的推动,数域开始得到拓宽,人们能够对分数、正负数、无理数及连分数有了一定的认识并作适当的处理.1585年荷兰数学家史蒂文发表的《论十进制算术》系统探讨十进数及其运算理论,并提倡用十进制小数来书写分数,还建议度量衡及币制中也广泛采用十进制.这种十进位值制的采用又为计算技术的改进准备了必要条件。对数的发明和应用：由于天文和航海计算的强烈需要，为简化天文、航海方面所遇到繁复的高位数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的加减法，这种设想受到人们熟知的三角公式的启示，或许受到斯蒂费尔在他的《综合算术》（1544）中所发现的几何级数1,r,r2,r3,……与其指数构成的算术级数0,1,2,3,……之间对应关系及运算性质的启示。纳皮尔(J.Napier)：在球面天文学的三角学研究中首先发明对数方法.《奇妙的对数定理说明书》(1614)阐述了对数方法.他考察一个点P沿直线AB(长度为107单位)运动,其速度在每一点P上正比于剩余距离PB=y;再假定一个点Q沿无限直线CD匀速运动,速度等于第一点在A处的速度,CQ=x;且P与Q分别同时从A、C出发(如图);那么定义x是y的对数。APyBCDQx图纳皮尔最初让x和y这两组数是按公式对应,其中a=107，e是自然对数的底，当时，并不能得到，而是得到。纳皮尔的目的是想用对数解决平面和球面三角问题，因此他作了以分弧为间隔的0~90角正弦的对数表。布里格斯(HenryBriggs,1561—1631)：与纳皮尔合作,决定采用y=10x,则时得到,获得今天所谓的“常用对数”.由于我们的数系是十进的,从而它在数值计算上具有优越性.《对数算术》(1624)编制了1-2000以及90000-100000的14位常用对数表。比尔吉(JobstBürgi,1552~1632):1600年也独立地发明了对数方法以简化天文计算。其对数思想的基础是斯蒂费尔的级数对应思想，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法。不过他的发明迟至1620年才得到发表。对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲。拉普拉斯(Laplace,1749~1827)曾赞誉：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。可以说，到十六世纪末、十七世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。三、解析几何的诞生近代数学本质上可以说成是变量数学。生产力对科学技术提出的要求：机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；十六世纪,对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题,这就迫切地需要一种新的数学工具,从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。解析几何变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生.解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念,并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对(x,y)之间建立一一对应的关系.代数方程f(x,y)=0对应于平面曲线.奥雷斯姆：解析几何最重要的前驱《论形态幅度》中提出的形态幅度原理(或称图线原理),甚至已接触到直角坐标系中用曲线表示函数的图象,奥雷斯姆借用“经度”、“纬度”这两个地理学术语来叙述他的图线,相当于纵坐标与横坐标.不过他的图线概念是模糊的,至多是一种图表,还未形成清晰的坐标与函数图象的概念。笛卡儿:《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(1637)三个附录:《几何学》,《屈光学》和《气象学》,解析几何的发明包含在《几何学》中.笛卡尔出发点是帕普斯(Pappus)问题：设在平面上给定3条直线l1、l2和l3，从平面上的点C作点作三条直线分别与l1、l2、l3交于P、R、Q，交角分别等于已知角1、2和3，求使CP·CR=kCQ2的点C的轨迹。如果给定四条直线(如图)，则求使这一问题称作帕普斯四直线问题.问题还可以类似地推广到n条直线的情形.帕普斯曾宣称,当给定的直线是三条或四条时,所得的轨迹是一条圆锥曲线。的C点的轨迹。l2l3l4l1EAxPGyRDCQHFS《几何学》第二卷证明了四直线问题的帕普斯结论。其做法是：记AP为x，PC为y，经简单的几何分析，他用已知量表出CR、CQ和CS的值，代入CP·CR=CS·CQ，就得到一个关于x和y的二次方程：y2=Ay+Bxy+Cx+Dx2(*)其中A、B、C、D是由已知量组成的简单代数式。笛卡尔指出，任给x一个值，就得到一个关于y的二次方程，从这个方程可以解出y，根据《几何学》第一卷所给的方法，用圆规直尺将y画出。如果我们取无穷多个x值，就得到无穷多个y值，从而得到无穷多个点C，所以这些点C的轨迹就是方程（*）代表的曲线。笛卡儿在这里选定一条直线(AG)作为基线(相当于一根坐标轴)，以点A为原点，x值是基线的长度，从A点量起；y值是另一条线段的长度，该线段从基线出发，与基线交成定角。于是，笛卡儿建立了历史上第一个倾斜坐标系。《几何学》第三卷还给出直角坐标系的例子。有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡儿又提出了一系列新颖的想法，如：曲线的次数与坐标轴选择无关；坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；以及曲线的分类等等。笛卡儿几何学的方法论背景:《几何学》作为笛卡儿哲学著作《方法论》的附录，意味着他的几何学发现乃至其它方面的发现都是在其方法论原理指导下获得的。其方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法，他认为在一切领域中可以建立一种普适的推证真理的方法，这个方法就是数学方法，称之为“通用数学”。由此出发提出一种大胆的
计划
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，即：任何的问题→数学问题→代数问题→方程求解为了实现这一计划，笛卡儿首先通过“广延”(对有形物广延的一种推广)的比较将一切度量问题化为代数方程问题.为此需要确定比较的基础，即定义“广延”单位，以及建立“广延”符号系统及其算术运算，特别是要给出算术运算与几何图形之间的对应。当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这还是《几何学》需要完成的任务。笛卡尔运用算术或代数术语将一切几何问题化为关于一个未知线段的单个代数方程：z=bz2=az+bz3=az2+bz+cz4=az3+bz2+cz+d………………《几何学》的主要篇幅或者说主要目标就是讨论如何给出这些方程的标准解法(由线段作图画出)。笛卡儿依次对此进行分类解答：(1)一、二次方程；(2)三、四次方程；(3)五、六次方程；…………《几何学》第一卷对于最简单的第（1）类方程，讨论了三种形式的二次方程：z2=az+b2z2=az+b2z2=azb2并分别给出作图（解）。本质上是利用圆与直线的交点。以z2=az+b为例，笛卡儿作一直角三角形NLM，使其一边LM=b，另一边LN=a/2，延长斜边MN至O，使NO=NL，则OM即所求线段z（如图）。aONPLbM2图笛卡儿发明坐标几何的最终目标是解决高次方程的作图问题在《几何学》第三卷的后半部分，他利用得到的坐标几何工具，解决了三、四次方程的作图(利用圆与抛物线的交点)和五、六次方程的作图(利用圆与比抛物线更高一次的所谓“笛卡儿抛物线”的交点)，并指出，可以依此类推地解决更高次方程的作图问题。笛卡儿《几何学》的整个思路与传统的方法大相径庭.笛卡儿在《方法论》中尖锐地批判了亚里士多德的“三段论”法则,认为三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用,却不能帮助我们发现未知的事情”.他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相,而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”,因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西,互相取长补短.”这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神,反映了文艺复兴时期的时代特征,笛卡儿的哲学名言是:“我思故我在”,他解释说:“要想追求真理,我们必须在一生中尽可能把所有的事物都来怀疑一次”,而世界上唯一先需怀疑的是“我在怀疑”,因为“我在怀疑”证明“我在思想”,说明我确实存在,这就是“我思故我在”,成为笛卡儿唯理主义的一面旗帜.它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒,但主张用怀疑的态度代替盲从和迷信,认为只有依靠理性才能获得真理,在当时不仅打击了经院哲学的教会权威,而且也为笛卡儿自己的科学发现开辟了一条崭新的道路.笛卡儿创立解析几何的灵感传说一个传说:看见一只苍蝇正在天花板上爬;另一个传说:1619年冬天,在圣马丁节的前夕(11月10日)做了三个连贯的梦.费马:工作的出发点:竭力恢复希腊几何，他试图恢复失传的阿波罗尼乌斯的著作《论平面轨迹》《论平面和立体的轨迹引论》(1629):试图用他所熟悉的代数形式描述阿波罗尼乌斯的结果，在书中他清晰地阐述了他的解析几何原理：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”（如图）。费尔马在书中还提出并使用了坐标的概念,不仅使用了斜坐标系,也使用了直角坐标系,他所称的未知量A、E实际就是“变量”,也就是我们今天所称的横坐标与纵坐标.书中费尔马解析地定义了以下的曲线：直线方程：d(ax)=by；圆：b2x2=y2；椭圆：b2x2=ky2；抛物线：x2=dy，y2=dx；双曲线：xy=k2；x2+b2=ky2.以及新曲线:bmxn=a，yn=axm和rn=av.费尔马没有说明他解析几何思想是如何形成的,我们可以认为,他与笛卡儿的创造都是文艺复兴以来欧洲代数学复兴所带来的必然结果.LL’L”EE’E”NAZZ’Z”
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