数列通项公式的求法(论文)

数列通项公式的求法(论文) 浅谈求数列通项公式的几种方法 数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等。因此，求数列的通项公式往往是解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的突破口、关键点。作为一线教师，本人根据多年教学经验结合近年来的数列考查动向，将求数列通项公式的方法做一 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ,希望能对广大考生的复习有所帮助。下面我就谈谈求数列通项公式的几种方法: 一、观察法 即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程:观察?概括、推广?猜出一般性结论。 例1:根据数列的前4项，写出它的一个通项公式: 14916212(1)9，99，999，9999，…(2)(3) 1,2,3,4,？1,,,,？251017325 123413715(4)(5)，，，。。。 ,,,,,,？248162345 n1234解:(1)变形为:10,1，10―1，10―1，10―1，…… ?通项公式为: a,10,1n 2n2a,n，(2) (3) ;a,;nn2n，1n，1 nn2,1n，1a,(,1),(4). (5) a,nnnn，12 点评:关键是找出各项与项数n的关系。 1n针对性训练:? 3 33 333 333 3333 … () a,(10,1)n3 2n，11721026n，1a,(,1) ? ,1 … () ,n2n，137911 二、 定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目( 2saaa例2 :等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，(求asa,,,,31,9nn55数列的通项公式. a,,n 解:设数列公差为d(d>0) a,,n 1 aaa?成等比数列， 1,3,9 2？,aaa 319 点评:当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求 得首项及公差公比。 针对性训练: 已知等比数列,,的首项，公比，设数列,,的通项为ba0,q,1a,1nn1 [1]，求数列的通项公式。 ,,bb,a，ann，1n，2n 解析:由题意，，又,,是等比数列，公比为 b,a，aaqn，1n，2n，3n ba，a2n，1n，2n，3?，故数列,,是等比数列，，? b,,qb,a，a,aq，aq,q(q，1)n12311ba，ann，1n，2 n,1n b,q(q，1),q,q(q，1)n 三、公式法 Sn　　　,1,1 ，即已知数列前n项和，求通项。 a,,nSSn,,　2,nn1, 例3:已知下列两数列的前n项和s的公式，求的通项公式。 {a}{a}nnn 23(1)。 (2) s,n,1S,n，n,1nn 解: (1)=1 a,S,1，1,111 332,,===3 aS,S(n，n,1),(n,1)，(n,1),1n,3n，2nnn,1 2此时，。?a=3为所求数列的通项公式。 a,2,Sn,3n，211n 2)， (a,s,011 2 22当时 a,s,s,(n,1),[(n,1),1],2n,1n,2nnn,1 0(n,1), 由于不适合于此等式 。 ? a,a,1n2n,1(n,2), 点评:要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 n,2 针对性训练:?已知数列前n项和满足:，求此数列的通项公式。 {}aSlog(1)1Sn，,，nn2n n1中, 且,求数列的通项公式. ?已知数列S,a，{a}a,0{a}[2]()nnnnna2n n，1?解: S,,21n 当时， a,3n,11 nnn，1 当时， aSS,,,,,222n,2nnn,1 31　　　n,, 所以: a,,nn22　　n,, nn11?解:由已知S,a，得S,S,S，, ()()nnnnn,1aS,S22nnn,1 2222化简有,由类型(1)有, S,S，2，3，？，nS,S,nnnn,11 2n(n，1)(1)nn，2又得,所以,又,s,, S,aa,1a,0S,111nnn22 2n(n，1),2n(n,1)a,则 n2 此题也可以用 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 归纳法来求解. 四、累加法 递推公式为 ，其中的和比较易求 ，通常解法是把原aafn,，()fffn(1)(2)...()，，，nn，1 递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 aafn,,()nn，1 ,,例4. 若在数列a中，，a,a，n，求通项a。 a,3n，1nn1n 得， 解析:由a,a，na,a,nn，1nn，1n 3 所以， a,a,n,1nn,1 ， a,a,n,2n,1n,2 …， ， a,a,121 a,a,(n,1)，(n,2)，,,,，1将以上各式相加得:， n1 n(n,1)又所以 = aa,3，31n2 11针对性训练:已知数列中，求的通向公式 aaaaa,,，,,,,,nn11nn，2n,241 1111,,解: 由已知得，， aa,,,,nn，1,,2nnn,,，4122121,, 令，代入个等式累加，即 nn,,1,2,...,1n,1，，，， 111111，，,,,,,, aaaaaa,，,，，,,,，,，，,...1...，，，，，，21321nn,,,,,,,,,nn23352321,,,,,,,,，， 11,, ？,,,aa 1n1,,n,221,, 43n, ？,an42n, 五、累乘法 an，1推公式为。解法:把原递推公式转化为，利用累乘法求解。 aafn,,fn，，，，nn，1an 2n例5 已知数列满足，求的通向公式。 aa,,aaa,,,nn11nn，，31n ann，1 解:由条件知，分别令n=1，2，3……，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘,1，ann 之，即 4 22针对性训练:设是首项为1的正项数列，且(=1，2， ,,a，，n，1a,na，aa,0nnn，1nn，1n [3]3，…)，则它的通项公式是=________. an 解:已知等式可化为: ,,(a，a)(n，1)a,na,0n，1nn，1n an*n，1()(n+1), 即 ？？a,0a,na,0,n,Nnn，1nan，1n an,1n？时， n,2,ann,1 aaan,1n,211nn,12？==. ,,？,1a,,,？,,an1nnn,12aaan,n,121 评注:本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得aann，1 到与的更为明显的关系式，从而求出. aaann，1n六、辅助数列法 6.1形如型 a,pa，f(n)n，1n (1)若，即(其中p，q均为常数，)。 f(n),qa,pa，qpq(p,1),0n，1n q解法:一般采用待定系数法将原递推公式转化为:，其中t,，再a,t,p(a,t)n，1n1,p 利用换元法转化为等比数列求解 例6 已知数列中，，求。 解: 令 atat，,，2,，，nn，1 与已知aa,，23比较，得 t,3nn，1 ， ？，,，aa323，，nn，1 5 所以，数列是以为首项，2为公比的等比数列 a，3a，,34,,n1 nn,，11n，1所以 即 aa，,，,3322a,,23，，n1n(2)若(其中k,b是常数，且) f(n),kn，bk,0求通项方法有以下两种方向: ?.相减法 例7.在数列中，求通项. {a}a,1,a,3a，2n,a1n，1nnn解:， ? ？a,3a，2n,n，1n 时，， ？a,3a，2(n,1)n,2nn,1 两式相减得 .令,则 a,a,3(a,a)，2b,a,ab,3b，2n，1nnn,1nn，1nnn,1 n,1利用类型5的方法知 b,5,3，2n n,1即 ? a,a,5,3,1n，1n 51n,13再由累加法可得. a,,,n,n22 51n,13亦可联立 ? ?解出. a,,,n,n22?.待定系数法 3例8. 在数列中，,求通项. {}aaa,,2a,a,6n,3n1nn,1n2 解:原递推式可化为 2(a，xn，y),a，x(n,1)，，ynn,1比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 2b,bnn,1 9169,,所以b是一个等比数列，首项,公比为. b,a,n，,n1122 911n,1n 即: ？b,()a,6n，9,9,()nn222 1[5]n故. a,9,()，6n,9n2 n,(3)若(其中q是常数，且n0,1) f(n),q n?若p=1时，即:，累加即可. a,a，q，1nn 6 n?若时，即:， a,p,a，qp,1，1nn 求通项方法有以下三种方向: n，1i. 两边同除以. p aaapp11，1nnnnn即: ,令，则, bb()()b,,，,,,,，1nnn，1nnnpqpqpqp然后类型1，累加求通项. aap1n，1n，1nii.两边同除以 . 即: , q,,，n，1nqqqq ap1n令,则可化为.然后转化为类型5来解， bbb,,,，n，1nnnqqq iii.待定系数法: n，1n设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. a，,,q,p(a，,,q),n，1n 例9.(2003天津理) n,1设为常数，且( aa,3,2a(n,N)0nn,1 1[4]1nn,nnn 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 对任意?1，; na,[3，(,1),2]，(,1),2a0n5 aa13n,1nnn证法1:两边同除以(-2),得 ,，,,(),1nn32,,(2)(2) a13nn令,则 b,b,,(,)b,,1nnnn32(,2) ？ b,(b,b)，(b,b)，？，(b,b)，bnnn,1n,1n,2211 a1333，，nn,121(,)，(,)，，(,)，=？ ,,3222,2，， 3321n,(,)[1,(,)]1122= ,,(1,2a)03321,(,)2 13n= ？,[(,),1]，a052 1n1nn,nnn？. a,(,2)b,？,[3，(,1),2]，(,1),2ann05 7 aa12nn,1n,1证法2:由得 . ,,,a,3,2a(n,N)nn,1nn,13333 a21121n设，则b. 即:, b,,,b，b,,,(b,)nnn,1nn,1n335353 11212,,所以是以为首项，为公比的等比数列. ,bb,,(,a),,,n1053535,, 121212n,1n,1n则=, b,,(,a)(,)(,a)(,1)()n00535353 a121n,1nn()(1)()即:, ,b,,a,，n0n5353 11nn,nnn故 . a,[3，(,1),2]，(,1),2a0n5 n评注:本题的关键是两边同除以3，进而转化为的类型，构造出新的等比数 列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题. 证法3:用待定系数法 nn,1n,1设, 即:, a，,,3,,2(a，,,3)a,,2a,5,,3nn,1nn,1 111nn,1比较系数得:,所以 所以, a,,3,,2(a,,3),5,,1,,,nn,1555 n,,33所以数列是公比为,2，首项为的等比数列. ,aa,,,1n55,, n11nn,nnn33n,1 即 . a,[3，(,1),2]，(,1),2a？a,,(1,2a,)(,2)(n,N).0nn0555 方法4:本题也可用数学归纳法证. (i)当n=1时，由已知a=1,2a，等式成立; 10 11kk,kk ( ii)假设当n=k(k?1)等式成立，则 a,[3，(,1)2],(,1)2a,0k5 211kkkk,kkk， 那么 a,3,2a,3,[3，(,1)2],(,1)2a10k，k5 11111k，kk，k，k， ,[3，(,1)2]，(,1)2a.05 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据(i)和(ii)，可知等式对任何n?N，成立. n，1规律: 类型共同的规律为:两边同除以，累加求和，只是求和的方a,pa，f(n)pn，1n 法不同. 8 pa，qn6.2形如型 a,n，1ra，sn pan,1(1)即 取倒数法. p,r,s,0,q,0a,nra，sn,1 an,1例10. 已知数列中，，，求通项公式。 ,,aaa,2a,(n,2)nn1n2a，1n,1 1111 解:取倒数:,，2,,,2aaaann,1nn,1 113？,，n,,,n,(1)22aa2n1 2？a,.nn,43 ，map[6]n6.3形如型 ,a(m,p,q为定值)n，1，aqn 方法:不动点法: ma，pmx，pnf(x),我们设,由方程求得二根x,y,由有f(x),xa,n，1x，qa，qn ma，pa,xmx，pmq,pnna,x,,,, n，1a，qx，qx，qa，qnn ma，pa,ymy，pmq,pnn同理,两式相除有a,y,,,,n，1a，qy，qy，qa，qnn a,xa,xa,xa,xy，qy，qn,1n，1nn，11,,,从而得,,,再解出即可. a()nax，qa,ya,yx，qa,yn，1,ynn，11 5a，4n例11. 设数列,a,满足,求,a,的通项公式. a,2,a,nn1n，12a，7n分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数t,得: 9 7t，4a，n5a，4(2t，5)a，7t2t，5nn, a，t,，t,,(2t，5)n，12a，72a，72a，7nnn a，t7t，4n令, 解之得t=1,-2 代入得 t,a，t,(2t，5)n，12t，52a，7n a，2a,1nn,, a，2,9a,1,3n，1n，12a，72a，7nn a,1a,1a,11a,11n，1nn1相除得,即{}是首项为， ,,,a，23a，2a，224a，n，1nn1 n,1a,14,3，211n1,n,公比为的等比数列, =, 解得. a,3nn,13a，244,3,1n r6.4形如(其中p,r为常数)型 a,pa，1nn (1)p>0， 用对数法. a,0n 2,,,,例12. 设正项数列满足，(n?2).求数列的通项公式. aa,2aaa,1nn,n1n1 aaaaannn,1nn,1解:两边取对数得:，，设，则log，1,2(log，1)b,log，1log,1，2log22222n 1,, 是以2为公比的等比数列， b,2bbb,log，1,1nn,1n12n,1aa2,1n,1n,1n,1n,1nn，，，? b,1，2,2a,2log，1,2log,2,1nn22 ,,,,练习 数列中，，a,2a(n?2)，求数列的通项公式. aaa,1nn,1n1n 2,n2,2 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 : a,2n (2)p<0时 用迭代法. 例13.(2005江西卷) 1已知数列， {a}的各项都是正数,且满足:a,1,a,a(4,a),n,Nn0n，1nn2(1)证明 (2)求数列的通项公式a. aanN,,,2,;{a}nnnn，1 解:(1)略 112(2) a,a(4,a),[,(a,2)，4],n，nnn1222所以 2(a,2),,(a,2)n，n1 2n,1n111111222221，2，？，22又b=n令b,a,2,则b,,b,,(,b),,,()b,？,,()bnnnnnnn,1,2,1222222 nn112,12,1,1，所以. b,,(),即a,2，b,2,()nnn22 方法2:本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试. 10 12解法3:设c，则c,转化为上面类型(1)来解. ,,b,cnnnn,12 总之，求数列通向公式的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法，只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结，将知识与方法学活，才可以做到游刃有余。 参考文献 [1]高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示.[J]试题与研究,2008,20. 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