定积分定义的直观诠释定积分定义的直观诠释的论文.doc
定积分定义的直观诠释定积分定义的直观
诠释的论文
定积分定义的直观诠释定积分定义的直观诠释
定积分的定义在数学分析或者高等数学中具有重要的地位，如何
讲清定积分的定义，是摆在数学老师们面前的一个课题。在教学中
讲授这部分内容，对于老师来说是比较头疼的。因为定积分不仅仅
是一个概念，它还是一种思想。即化整为零→近似代替→积
零为整→求出极限，这种和的极限的思想在
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
技术、物理及生
产实践中具有普遍的意义。很多问题都可以归结为这种和的极限的
数学结构。如我国的人口普查，即是化整为零，最小的统计单位为
街道办或村，这些街道办和村的统计之和就形成了最终国家的人口
统计数据。为了说清这个和的极限的思想，教材中往往采用曲边梯
形的面积这类实际问题，来展现定积分的思想和方法。 教学中
由于没有确切的极限数字，也无法得出具体的区块面积之和，故对
于微积分的定义只能说个大概，所以只能是照本宣科的按照定义来
念，都是假设那个极限值是固定不变的存在，就称那个极限是某函
数的定积分。 mathematica 8。01已经具备这样的动画功能，随
着算法、分块的不同，分成的小区块的和也不同，但都接近于某一
个固定值，这样由具体的数据出发，学生们就容易理解定积分。
在mathematica 8。01中新建。nb笔记本文件，输入mathematica命
令: left\[f_, x_, n_, h_, type_\] := {f /。\[n + 1, h\], f /。 x ->
bottom\[n, h\] + 。5 h, if\[(f /。 x -> bottom\[n, h\]) < (f /。 x
-> bottom\[n + 1, h\]), f /。 x -> bottom\[n + 1, h\], f /。 x ->
bottom\[n, h\]\], if\[(f /。 x -> bottom\[n, h\]) < (f /。 x ->
bottom\[n + 1, h\]), f /。 x -> bottom\[n, h\], f /。 x -> bottom\[n + 1, h\]\], f /。 x -> bottom\[n, h\]}\[\[type\]\] right\[f_, x_, n_, h_, type_\] := if\[type == 6, f /。 x -> bottom\[n + 1, h\], left\[f, x, n, h,
type\]\] bottom\[0, h_\] := 0 bottom\[n_, h_\] := bottom\[n - 1, h\] + h rectangle\[f_, x_, n_, h_, type_\] := {edgeform\[thin\],
rgbcolor\[0, 1 - n/20, n/20\], polygon\[{{bottom\[n, h\], 0}, {bottom\[n, h\],left\[f, x, n, h, type\]}, {bottom\[n + 1, h\], right\[f, x, n, h, type\]}, {bottom\[n + 1, h\], 0}}\]} estimatedarea\[f_, x_, n_, h_, type_\] := n\[sum\[abs\[ bottom\[i, h\] - bottom\[i + 1, h\]\]*(left\[f, x, i, h,
type\] + right\[f, x, i, h, type\])/2, {i, 0, n - 1}\], 3\]
manipulate\[ shoated area: “ <> tostring\[estimatedarea\[f, x, n, a/n, type\]\]}, {“integral: “ <> tostring\[n\[0a f x, 3\]\]}}\]\], plot\[f,
{x, 0, a}, plotstyle -> black,filling -> 1 -> {0, opacity\[。25,
blue\]}\], graphics\[{opacity\[。4\], table\[rectangle\[f, x, i, a/n,
type\], {i, 0, n - 1}\]}\], graphics\[{red, line\[{{a, 0}, {a, 150}}\]}\],
imagesize -> 360\], {{f, x, “function”}, {(x - 2) -> “(x-2\\!\\(\\*superscriptbox\[\\()\\), \\(2\\)\]\\)”, (x - 3) + 20 ->”(x-3\\!\\(\\*superscriptbox\[\\()\\), \\(3\\)\]\\)+20”, sqrt\[x\] -> “\\!\\(\\*sqrtbox\[\\(x\\)\]\\)”}, controltype -> setterbar},{{type, 2,
“type”}, {1 -> “left”, 2 -> “right”, 3 -> “midpoint”}, controltype -> setterbar}, {{a, 15, “upper limit a”}, 0。01, 15, appearance ->
“labeled”}, {{n, 10, “number of quadrilaterals”}, 1, 20, 1, appearance -> “labeled”}, savedefinitions -> true\] 运行得出下图: 上图中可以看出，在分成30个区块后，那些区块的估计值为916。954，较接近极限值917。333，而当滑块指到50时，估计值为917。197，可见，分得越小，计算就越精确，也就越接近极限值。同样，当点击type中的right(即以小区块右边点的函数值作为高来计算小矩形的面积)按钮时，区块的估计值为948。326，而点击左边的left按钮(即以小区块左边点的函数值作为高来计算小矩形的面积)，区块的估计值为886。886。而随着区块的增加，其区块的估计值在不断的变化，区块分得越小，计算就越精确。 通过演示，不同的函数，极限值结果不一样，不同的算法，极限值结果也不一样，不同的区块数结果也不一样。但有一点，区块分得越细，越接近极限值。对照定积分的定义，不管如何分，当相邻两点间距离的最大值趋于0时，区块面积的和总趋于某个固定值，这样，极限的定义就容易理解了。
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