正弦交流电有效值的巧妙证明
正弦交流电的有效值与其最大值之间关系的证明通常是采用积分的
方法
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,由于高中阶段还没学习这种数学方法,所以高中
书
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本中没有给出证明方法,只是直接给出了正弦交流
ImI,电的有效值与最大值之间的关系。但是也有比较巧妙的方法利用高中的数学及物
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理知识证明这一关系。
交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的,让交流和直流通过相同阻值的电阻,如果它们在相同的时间内产生的热量相等,就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值。
假设有两个交变电压,其变化规律如图所示,它们的最大值与周期都相同,它们的瞬
2,u,Usin,tu,Ucos,t时
表
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达式分别为、,其中,把它们分别加在两个,,1m2mT
阻值相同的电阻上,设电阻的阻值为R,由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关,故在一个周期内两个交流电产生的焦耳热相同,设都为Q,产生的总的焦耳热Q=2Q。设它们交流电压的有效值为U,则有: 总
2uu1 2 UQ,T UUm m R
O O t t 2T T t t UQ,2T 总-U-Um m R
另外,在任一时刻t,这两个电阻上的热功率分别为:
2222UtUtuu(sin,)(cos,)mm12PP,,,,,, 12RRRR
两个电阻上总的发热功率为:
222Utt(sin,,cos,)mPPP,,,12R 2Um,R
可以看出:两个电阻上总的发热功率是一定值,与时刻t无关,所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为:
2UmQ,PT,T 总R
22UUm2T,T所以有: RR
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UmU,可得:
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IEmmI,E,同样可以得到:电流有效值;电动势的有效值:
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