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论文：24(2)基本不等式及其应用

论文：24(2)基本不等式及其应用论文：24(2)基本不等式及其应用 2.4(2)基本不等式及其应用上海市曹杨二中李凡一、教学目标设计 a，b22a1、进一步掌握两个基本不等式:(、)、,aba，b,2abb,R2 a(、为任意正数). b 2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明. 3、进一步理解代换的数学方法. 二、教学重点及难点基本不等式的简单应用. 三、教学流程设计复习回顾基本不等式的应用(几何问题) 拓广引申基本不等式的应用(代数证明) 课堂小结作业布置(含课...

论文：24(2)基本不等式及其应用 2.4(2)基本不等式及其应用上海市曹杨二中李凡一、教学目标设计 a，b22a1、进一步掌握两个基本不等式:(、)、,aba，b,2abb,R2 a(、为任意正数). b 2、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明 . 3、进一步理解代换的数学方法. 二、教学重点及难点基本不等式的简单应用. 三、教学流程设计复习回顾基本不等式的应用(几何问题) 拓广引申基本不等式的应用(代数证明) 课堂小结作业布置(含课外思考) 四、教学过程设计一、复习 22a基本不等式1 对于任意实数和，有a，b,2ab，当且仅当b 时等号成立. ab, a，ba基本不等式2 对于任意正数、，有,ab，当且仅当ab,b2 时等号成立. a，baba我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均b2 第 1 页共 8 页数.因此基本不等式2也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [说明] 复习过程中需强调三点: 1、两个基本不等式各自适用的范围. 2、两个基本不等式各自等号成立的条件. 3、两个基本不等式之间的联系. 二、新课讲授 (2)几何问题根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题. 例3 在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小, ，aa解:设矩形的长、宽分别为、(、)且(定值)，则bR,babm, ab同样面积的正方形的边长为. ,Cab,4 矩形周长，正方形周长. Cab,，2，， a，b 由基本不等式2，得,ab，又由不等式的性质得2 ,，即. 24abab，,CC,，， Cm,4由题意，(定值)，所以(定值).当且仅当，abm,ab,即矩形为正方形时，矩形的周长最小. [说明] 第 2 页共 8 页当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值. 1x，,2 例如，若时，，当且仅当时等号成立.(一方x,0x,,1x 1面当时，有，当且仅当时等号成立.另一方面当x，,2x,0x,1x,0x 11,,,，,,x2时，有，即，当且仅当时等号成立.) x，,,2x,,1，，,,xx,, 两个正数的和为定值，则它们的积有最大值;两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”. (2)代数证明 222ac例4 求证:对于任意实数、、，有，当且abcabbcca，，,，，b 仅当时等号成立. abc,, 证明:由基本不等式1，得 222222，，， abab，,2bcbc，,2acac，,2 22222abcabbcca，，,，，把上述三个式子的两边分别相加，得，，，，， 222即abcabbcca，，,，，，当且仅当时等号成立. abc,, 1222222另证: abcabbccaabcabbcca，，,，，,，，,,,222222，，，，，，2 1222，，. ,,，,，,,abbcac0，，，，，，，，2 222 即abcabbcca，，,，，，当且仅当时等号成立. abc,,例5 均值不等式链第 3 页共 8 页 222abab，，，a设、，则(调和均值几何均值,,,abbR,,1122，ab 算术均值平方均值)，当且仅当时等号成立. ,,ab, 11，1112，aba证明:(1)由、，得，当且仅,,,bR,,ab,112abab，ab当时等号成立. ab, ab，(2)ab,，当且仅当时等号成立，已证. ab,2 222ab，ab，，，222222abab，,，(3)由 abab，,2,,,，，，，24 222ab，ab，，，abab，，,,,. ,2422 22abab，，，a 所以，当、时，有，当且仅当时等号成bR,,ab,22 立. ，a 综合(1)、(2)、(3)得，当、时，有bR, 222abab，，,,,ab，当且仅当时等号成立. ab,1122，ab [说明] a事实上当、时，有: bR, 2ab，,,ab,? ，当且仅当时等号成立. ab,,,2,, 22ab，abab，，,,? . 222 2ab，2,,22abab，,4ab,证明:? 由abab，,2，当且仅当 ab,,,，，,,2,, 第 4 页共 8 页时等号成立. 222ab，ab，，，22222 ? 由2abab，,， abab，,2,,,，，，，24 222ab，ab，，，abab，，,,,. ,2422 22ab，abab，，即，. ,,222 22ab，ab，不等式等号成立当且仅当. ,ab,22 ab，ab，, 不等式等号成立当且仅当. ab，,022 22abab，，不等式等号成立当且仅当. ,ab,,022 例6 甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前 aa一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为;乙用速度走b 完前半段路程，用速度走完后半段路程;问:谁先到达B地, b tt解:设A、B两地的距离为，甲、乙两人用时分别为、，则S21 tt111。 Sabtab,,，,,，，，1222 SS 1111ab,,,,22ttabtt,，,，，,，，,2 因此。，，2111,,,,ababba44,,,, tt,所以，当时，，甲、乙两人同时到达B地;当时，ab,ab,21 tt,，甲先到B地。 21 tt另解:设A、B两地的距离为，甲、乙两人用时分别为、，平均S21 vv速度分别为、，则 12 第 5 页共 8 页 Sab，,tt,11v,,1Sab,,，,,,t2122,,,vv,。 ,,S12,,SS12v,,,2,,11111t,,222t,，，,,，1,,ab,ab2ab,,,, vv,因而，当时，，甲、乙两人同时到达B地;当时，ab,ab,12 vv,，甲先到B地。 12 三、课堂小结略四、作业布置 1、习题2.4 1、2、4、7 2、思考题均值不等式链的几何解释. 五、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第二节课，在学生掌握两个基本不等式的前提下，介绍了基本不等式的简单应用. 从上堂课的最后一个几何问题入手，得出例3的结论，并在此基础上归纳出利用基本不等式求最值(最大值、最小值)的基本方法. 在讲解完例4有关利用不等式进行简单代数证明后，结合上堂课留给学生的思考题(整理一些基本不等式的常用变式并给出证明)给出“基本不等式链”.有关“基本不等式链”的证明应由学生给出，一方面作为课堂练习，另一方面也给出了一个重要的不等式结论，这个结论在以后的学习中还会用到.对于说明中的相关内容，视学生的情况而定，可由教师做适当引导，也可留为课后思考. 第 6 页共 8 页整堂课的教学重在两个基本不等式的应用.在如何使用基本不等式解决问题(几何、代数)的同时，需对两个不等式适用的范围以及各自等号成立的条件做反复强调. 第 7 页共 8 页第 8 页共 8 页

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