均值不等式及证明
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一、均值不等式
(一)概念:
n1、调和平均数: H,n1/a，1/a，...，1/a12n
1n2、几何平均数: G,(a,a,...,a)nn12
aaa，，...，12n3、算数平均数: A,nn
222aaa，，...12n4、平方平均数: Qn,n
这四种平均数满足 H,G,A,Qnnnn
，a,a,...,aa,a,...,a,R，当且仅当时取得“=”号。 12n12n均值不等式的一般形式:
rrr1aaa，，...，n12rD(r),()(1)(当r不等于0时); n
11
nnD,(a,a,...,a)D(r),(a,a,...,a)(2)(当r等于0时)，即 n(0)12n12
其中 仅是上述不等式的特殊情形，即:H,G,A,Qnnnn
D,D,D,D (,1(0)(1)(2))
222()a，ba，b,ab,, 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 1122，ab
【1】(二)证明(用排序不等式证明均值不等式):
na,a,...,a, 设整数 记B,a,a,...,a,令12n12n
ai，，b,i,1,2,...,n，则iB
a，a，，a...n12n,a,a,,,a,b，b，,,,，b,n n1212nn
，x,x,,,,,x,Rb,b,,,b,1其中。不妨引入新的未知数， 12n12n
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xxx12nb,,b,,,,,,b,12n使得，于是由排序不等式知
xxx231
xxx12nb，b，,,,，b,，，,,,，,n12x,x,,,,,x，当且仅当n12nxxx231
a，a，，a...n12n,a,a,,,a时，等号成立。因此，当且仅当n12n
x,x,,,,,x时成立。 12n
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