《三角形的高、中线与角平分线》优质课件（3套）

11.1.2三角形的高、中线与角平分线第十一章三角形学习目标1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）复习回顾导入新课当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?放、靠、过、画.思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?复习导入导入新课三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如右图,线段AD是BC边上的高.讲授新课思考：你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.锐角三角形的三条高如图所示；直角三角形的三条高(1)画出直角三角形的三条高,ABBC它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.BD钝角三角形的三条高(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？DEFBFCEADABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？(4)它们所在的直线交于一点吗？OE钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在直线交于一点.视频：画钝角三角形的高例1作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)典例精析方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．D例2如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．例3如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).AE是BC边上的中线.三角形的“中线”(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?三条中线，交于一点(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？折一折，画一画，并与同伴交流.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.要点归纳典例精析例4在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.7cm思考在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?BAC用量角器画最简便，用圆规也能.在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的∠A的平分线.三角形的角平分线的定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.12ABCD注意：“三角形的角平分线”是一条线段.∠1=∠2*每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?做一做*三角形的三条角平分线交于同一点.三角形角平分线的性质解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，∴∠DAC＝∠BAD＝34°.在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－36°－34°＝110°.例5如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.A知识归纳 三角形的重要线段 概念 图形 表示法 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线.∴AD⊥BC∠ADB=∠ADC=90°. 三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵AD是△ABC的BC上的中线.∴BD=CD=½BC. 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线∴∠1=∠2=½∠BAC当堂练习1．下列说法正确的是（　　）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外D．三角形的角平分线是射线B2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是（　　）A．①② B．③④ C．①④ D．②③D3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有（　　）A．2条B．3条C．4条D．5条BD5.填空：（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=＿＿，∠3=_________，∠ACB=2______.图①图②AFDC∠22∠46.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.解：∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.7.如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.解：∵ＡE是△ABC的角平分线，∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.*课堂小结三角形重要线段高钝角三角形两短边上的高的画法中线会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差角平分线新人教版-八 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 （上）数学-第十一章11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.理解三角形的高、中线和角平分线的含义,并会作出这三种重要的线段。2.了解三角形的高、中线、和角平分线的性质,并能应用它解决一些问题。3.感受数学知识的广泛用途和科学探究精神。重点：三角形的高、中线和角平分线的定义。难点：掌握各种线在三角形中分得的角和线段之间的倍分关系。学习目标：**学生你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?画法过三角形的一个顶点，你能画出它到对边的垂线段吗?回顾与思考**A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。如图,线段AD是BC边上的高.任意画一个锐角△ABC,垂直的记号和垂足的字母请你画出BC边上的高.标明三角形的高**从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。AD⊥BC，则AD是△ABC的BC边上的高AD是△ABC的BC边上的高,则AD⊥BC,∠ADB=900三角形的高的理解锐角三角形的三条高(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？锐角三角形的三条高交于同一点.(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高都在三角形的内部。ABCDEF**直角三角形的三条高ABC(1)画出直角三角形的三条高,直角边BC边上的高是;AB直角边AB边上的高是;CB它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.D斜边AC边上的高是;BD●**钝角三角形的三条高(1)钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点O**小结:三角形的高从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高。三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三角形的三条高所在直线交于一点三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部**2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定1.下列各组图形中,哪一组图形中AD是△ABC的高()BD拓展与练习**在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.D∵AD是△ABC的中线任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?●●三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.三角形中线的理解EFO三角形的中线**也就是说：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。例1：如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积有何关系？中线的性质②三角形的中线是一条线段。①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交与一点。③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。三角形中线的特点叫做三角形的角平分线。ABCD∵AD是△ABC的角平分线任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?●●在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部三角形的角平分线**∵BE是△ABC的角平分线∴_______=_______=____∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分线∠BCF思考三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线。三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？角平分线的理解**例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角平分线,相交于点O.(1)当∠ABC=60°,∠ACB=80°时,求∠BOC的度数例题讲解解:∵BD、CE分别是△ABC的角平分线例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角平分线,相交于点O.（2）当∠A=40°时，求∠BOC的度数例题讲解解:∵BD、CE分别是△ABC的角平分线例2:如图,已知:△ABC中,BD、CE分别是△ABC的两条角平分线,相交于点O.（3）当∠A=x°时，求∠BOC的度数(用含x代数式表示）例题讲解解:∵BD、CE分别是△ABC的角平分线高、中线与角平分线的比较 名称 基本图形 画法 性质 高 用边的垂线三角板画顶点到对段 三条高线相交于三角形内部、外部或边上一点 中线 用直尺画两点之间的线段 三条中线相交于三角形内一点，且把三角形分成面积相等的两部分 角平分线 利用量角器画角的平分线的一部分 三条角平分线相交于三角形内一点**如图,在⊿ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.①AD是⊿ABE的角平分线()②BE是⊿ABD边AD上的中线()③BE是⊿ABC边AC上的中线()④CH是⊿ACD边AD上的高()三角形的高、中线与角平分线都是线段×××√拓展练习**小结三角形的角平分线、中线、高线的比较相同点：（1）都是线段（2）都从顶点画出（3）所在直线都相交于一点不同点：角平分线反映的是角的相等关系中线反映的是线段的相等关系高线反映的是它和对边或对边所在直线的垂直关系ABC...把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C．.观察移动过程中形成的无数条线段（AD、AE、AF、AG…）中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置?ABC...┐DABC...EABC...F2.线段中点的定义：3.角平分线的定义：1.垂线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.把一条线段分成两条相等的线段的点当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.复习过一点画已知直线的垂线三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高.如图,线段AD是BC边上的高.任意画一个锐角△ABC,和垂足的字母.请你画出BC边上的高.三角形的高剪一个锐角三角形纸片. 你能画出这个三角形的三条高吗? 这三条高之间有怎样的位置关系？ 你能用折纸的办法得到它们吗?ABCDEF使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 这三条高之间有怎样的位置关系？ABCDEF在纸上画出一个直角三角形.ABC 画出直角三角形的三条高,AB直角边AB边上的高是;CB它们有怎样的位置关系？直角三角形的三条高交于直角顶点.D斜边AC边上的高是.BD●钝角三角形的三条高交于一点吗？钝角三角形的三条高不相交于一点它们所在的直线交于一点吗？钝角三角形的三条高所在直线交于一点O∵AD是△ABC的高，D∴∠BDA=∠CDA=90°.三角形的高的表示法顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高.三角形的三条高所在直线交于一点.三角形的中线在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.D●●D∵AD是△ABC的中线，●●三角形的中线D任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?●●三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.EFO三角形的角平分线叫做三角形的角平分线.ABCD●●在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,ABCD∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.●●任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.ACBFEDO三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？思考三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线今天我们学了什么呀？1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法.2.三角形的高、中线、角平分线的几何表达及简单应用.本课小结 三角形的重要线段 概念 图形 表示法 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的边BC上的高线，∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 三角形的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段 ∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD=CD=BC. 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠BAC.*****学生************************