2022年中考数学几何模型之动点最值之瓜豆模型(讲+练)(解析版)

专题16动点最值之瓜豆模型模型一、运动轨迹为直线问题1:如图，P是直线BC上一动点，连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？A解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线.理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且ZPCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？CBBQAPC:)AP解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP^ACPP],则ZCPP]=CQQ],故可知Q点轨迹为一条直线.模型 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量．结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；②主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例1.如图，在平面直角坐标系中，A（—3,0）,点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．3【答案】小―【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置Pg（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2.连接P]P2，即为P点轨迹.根据ZABP=60°,可知：『八与y轴夹角为60°,作OP丄"「，所得OP长度即为最小值，3OP2=OA=3，所以门宀例2.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2J3的一个定点，AC丄x轴于点M,交直线y=—x于点N,若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA丄PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是答案答】扒包【分析】TZPAB=90°,ZAPB=30°,・・・可得：AP:AB=£^：-,故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为叮日：I,P点轨迹长ON为离虽故B点轨迹长为仏.刁.【变式训练1】如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG,求CG的最小值是多少？【答案】7【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G位置，最终G点在位置不一定在CD边），。：企即为G点运动轨迹.CG最小值即当CG丄Gt的时候取到，作CH丄⑺⑺于点H,CH即为所求的最小值.根据模型可知:仁心“与AB夹角为60°,故^「'，丄上仁.过点E作EF丄CH于点F,1q5弓则HF=/：'〔；=1,，所以，因此CG的最小值为【变式训练2】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点,△EDM为等边三角形.若点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径长为6“D【解答】解：当点E在B时，M在AB的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示，所以点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径为MN的长，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，□ADOBC,□BAD=30。，□AB=6,DAD=_诂Z=3，△△EDM是等边三角形，□AM=AD=3l3，DDAM=60°，△NAM=30°+60°=90。，mAN=AB=3,在RtDNAM中，由勾股定理得：MN=速垃十側2=；护+（空3）2=6，则M点所经历的路径长为6,故答案为：6.【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，AB=4,^DCA=30°,点F是对角线AC上的一个动点，连接DF以DF为斜边作△DFE=30。的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长■—【解答】解：E的运动路径是线段EE的长;△AB=4,^DCA=30°,OBC=",3当F与A点重合时，在Rt^ADE'中，AD=•,△DAE'=30°,△ADE'=60°,△DE=,△CDE'=30°,当F与C重合时，△EDC=60。，△△EDE'=90°,△DEE'=30°,在曲施中，吐竽；故答案为干.【变式训练4】如图，已知线段AB=12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF,连接DF,点M是DF的中点，连接MB,则线段MBEMALDC的最小值为答案】6【解析】如图所示，TZFCB=30°,・・・F的路径是定射线DF,又•・•点M是DF的中点，化DMVD点为定点，F点为主动点，M点为从动点，由瓜豆原理内容可知M点的路径亦是一条射取CD的中点N,连接NM并延长，则射线NM就是M点的路径，且NM〃CF,作BG丄NM于点G,交CF于点H,贝BG丄CF,故BG=BH+HG=BH+CN=4+2=6,・•・线段BM的最小值即为BG,最小值为6.模型二、运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在圆O上运理由：Q点始终为AP中点，连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有口AMQ^QAOP,QM—Q=-.0oPAO解析：Q点轨迹是一个圆动时，Q点轨迹是？———|——-fc——卜\M/POAP2问题2.如图，△APQ是直角三角形，ZPAQ=90沮AP=2AQ,当P在圆0运动时，Q点轨迹是？理由：•.•APQAQ,・・・Q点轨迹圆圆心M满足AMQAO；又•••AP：AQ=2：1,・Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1.即可确定圆M位置，任意时刻均有QAPOQQAQM,且相似比为2.模型总结：条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(ZPAQ是定值);主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).结论：(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM；(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比．例1.如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点，则AC的最小值是【答案】1.5【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点.・・・C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F,以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：由题中数据可知OP=5，又・•点A、F分别是OB、BP的中点，・・・AF是ABPO的中位线，二AF=2.5,当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，・・AC=2.5—1=1.5.例2•如图，A是回B上任意一点，点C在回B外，已知AB=2,BC=4,HACD是等边三角形,则△BCD的面积的最大值为（）A.4^3+4C.4吕+8【答案】A【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM,连接DM,回ZDCA=ZMCB=60。,回ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM，即ZDCM=ZACB'DC=AC在△^旳和厶ACB中，＜ZDCM=ZACB,回aDCMACB（SAS）,回DM=AB=2,MC=BC国点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，要使△BCD面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离，回aBCM是边长为4的等边三角形，回点M到BC的距离是2x3国点D到BC的最大距离是2畐+2,回△BCD的面积最大值是2x4+2）=+4•故选：A.例3.如图，正方形ABCD中，AB2忑,O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.【解析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.考虑DEDDF且DE=DF,故作DMDDO且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心,2为半径的圆.直接连接OM,与圆M交点即为F点，此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM,减去MF即可得到OF的最小值.答案为5J2-2EFOC-M【变式训练1】如图，在等腰RtAXBC中，AC=BC=2<2，点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为【答案】n【解析】当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，U=,■'；（'=》&.'一l.fU?,设分别为AC、BC的中点，连接交CP于点0,如图所示:B.2+祐C.2+3万D.2+计【详解】如图，连接0Q,作CH0AB于H.囹AQ=QP,0OQ0PA,亟AQO=90°,当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M的运动路径是以0为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆，•:点M的运动路径长为n.【变式训练2】如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，其中AB=6，ZAOC=120。，P为OO上的动点，连AP，取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为（）A.3厉【答案】D囹点Q的运动轨迹为以A0为直径的0K，连接CK,当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大启ZAOC=120。亟COH=60°在RtEOCH中,囹囹COH=60°,OC=丄AB=3,2EOH=10C=3,CH=\；OC2+OH2=313222在Rt囹CKH中，CK==芸70CQ的最大值为丄+—听,22故选：D.△ABC中,变式训练3】如图，AB=AC,BC=6,AD丄BC于点D,AD=4,P是半径为2的OA上一动点,连结PC,若E是PC的中点，连结DE,则DE长的最大值为)(B.3.5D.4.5A.3C.4【答案】B详解】解：如图，可知P在BA延长线与OA的交点时此时DE长的最大，证明如下:连接BP,^AB=AC,BC=6,AD丄BC,^BD=DC,囹E是PC的中点,EDE//BP,DE=1BP,2所以当BP的长最大时，DE长的最大，由题意可知P在BA延长线与。A的交点时BP的长最大此时DE长的最大，EBC=6,AD=4,EBD=DC=3,BA=5,EG>A的半径为2,即AP=2,EBP=5+2=7,EDE=—BP=3.5.2故选：B.课后训练1.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2,D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt^DCE,使ZCED=90°,连接BE,则线段BE的最小值为.【解析】由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB,点E为从动点,•.•△DCE是等腰直角三角形，・：ZDCE=45°,结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45°，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的，如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离（点B到■的最短距离）,由旋转相似可得川UWfm〕「亠厂3」=二门'门=仃厅，在川二”匕竹中，有K=v"2，则“卜'=•°•线段BE的最小值为丄厂.3.如图，AB=6，点0在线段AB上,AO=2，OO的半径为1点P是OO上一动点，以BP为一边作等边△BPQ，则AQ的最小值为.4Qoii&AOBBOi【答案】2釣-1【详解】解：如图，在AB上方以OB为一边作等边aOBC，连接OP,CQ,ACOBC和△BPQ都是等边三角形，•••OB=CB,BP=BQ,ZOBC=ZPBQ=60。/.ZOBC-ZPBC=ZPBQ-ZPBC，即ZOBP=ZCBQ5二CB在厶OBP和aCBQ中，\zOBP二ZCBQ,/.△OBP二'CBQ(SAS),/.CQ=OP=1,、BP二BQ•点Q在以点C为圆心，CQ长为半径的圆上，如图，设AC与OC交于点D，过点C作CM丄AB于点M，则CD二1，则当点Q与点D重合时，AQ取得最小值，最小值为AD•.AO=2,AB=6,.・.OB=AB—AO=4，…OBC是等边三角形，CM丄ABOC=OB=4,OM=2OB=2,CM=\；OC2-OM2=2.3,AM=AO+OM=4在RtAACM中，AC*AM2+CM2=2x7，贝VAD=AC—CD=2訐—1即AQ的最小值为2訐—1，故答案为：2訂—14•点A是双曲线“在第一象限上的一个动点，连接A0并延长交另一交令一分支点B,以AB为斜边作等腰RtAABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为.X【答案】.=-匚【解析】连接0C,作CD丄了轴于点D,AE丄f轴于点E,如图所示:设点A的坐标为TA、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，・••点A与点B关于原点对称，・・・OA=OB,•.•△ABC为等腰直角三角形，・OC=OA,0C丄0A,・ZDOC+ZAOE=90°,•.•ZDOC+ZDCO=90°,・ZDCO=ZAOE,{^CDO=ZOEAADCO=ZEOA‘.•.△COD^AOAE(AAS),CO=OA・••点C在反比例函数的图像上.X7.如图，AB为囹0的直径，C为囹0上一点，其中AB=2,0AOC=12O°,P为囹0上的动点,连AP,取AP中点Q,连CQ,则线段CQ的最大值为.【答案】字/\,0\V2在Rt❷CKH中,CK=.+12囹CQ的最大值为今故答案为：中【详解】解：如图，连接0Q,作CH0AB于H.0AQ=QP,00Q0PA,亟AQ0=9O°囹点Q的运动轨迹为以A0为直径的0K，连接CK当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大,11在R3CH中,亟C0H=6O°,0C=1,囹0H=2OC=28•如图，已知点M(0,4),N(4,0),开始时，口/EC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4.【解答】解：过点C'作CD^x轴，CER轴□点M(0,4),N(4,0),DOM=ON,△△CAC+45°=□EAB+mMGB=45°+DMGB,△△EAC=^B'GB,□□B'GB+mGBB=45。，△GBB+^DB'C=45°,△△EAC=^DB'C,又△AC=B'C,△RtmACEDRtmB'CD(HL),△EC=DC,△C在第四象限的角平分线上，DC的运动轨迹是线段AC,△C的运动路径长为4；故答案为4；9.如图，已知在扇形AOB中，OA=3,ZAOB=120°,C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？【解析】将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F,取再厂的中点H,连接FH、HB、BD，如答案】图所示：由题意可得AFTB是等腰直角三角形，HF=HB,ZFHB=90°,•.•ZFDB=45°=刁ZFHB,・：点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线,AZHFG=ZHCF=15°,AZFHG=150°,AZCHB=120°,・m=,・••点D的运动路径长度为=：£二.