微专题5 与指数函数、对数函数有关的复合函数第四章 指数函数与对数函数与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数.例1 (1)函数f(x)＝的单调增区间为_____________.一、判断复合函数的单调性(－∞，1)解析 令t＝x2－2x－1，所以函数t＝x2－2x－1＝(x－1)2－2在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.故f(x)＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.(2)讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性.则当a>1时，若x>1，则u＝3x2－2x－1单调递增，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)单调递增.∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减.当0<a<1时，若x>1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)单调递减；形如函数y＝logaf(x)的单调性判断首先要求定义域，在定义域内，当a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性保持一致，当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.反思感悟二、已知复合函数单调性求参数范围例2 已知函数y＝在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围.已知复合函数的单调性求参数的取值范围注意(1)函数的定义域.(2)遵循“同增异减”原则.(3)区别“在区间[a，b]上单调递增(减)”与“单调递增(减)区间是[a，b]”.反思感悟三、求复合函数的值域例3 求下列函数的值域：(1)y＝；解 ∵1－x2≤1，∴≤21＝2，∴0<y≤2，故y＝的值域为(0,2].(2)y＝.解 设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.∵u>0，∴0<u≤4.又y＝在(0,4]上单调递减，∴≥＝－2，求复合函数f(g(x))的值域一般是先求函数g(x)的值域，然后根据函数f(x)的单调性求f(g(x))的值域，即遵循“由内到外”原则进行.反思感悟四、求复合函数的最值例4 求函数y＝－在区间[2,4]上的最大值和最小值.所以当t＝－2时，ymax＝10；解 因为2≤x≤4，所以≤≤，即－2≤≤－1.设t＝，则－2≤t≤－1.求复合函数的最值首先恰当地把复合函数分解为两个或多个基本函数，然后按照“由内到外”的原则，利用函数的性质求最值.反思感悟五、与复合函数有关的不等式问题例5 已知x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，求实数m的取值范围.结合f(m)＝m2－m－2的图象解得－1<m<2.故实数m的取值范围为(－1,2).六、判断复合函数的奇偶性∴x<－a－1或x>－a.∵f(x)是奇函数，∴其定义域关于原点对称，∴－a－1－a＝0，因为f(x)是奇函数，故∀x∈A，f(－x)＝－f(x)，(2)对任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>log2(m－2x)恒成立，求实数m的取值范围.又由m－2x>0⇒m>2x，本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零.反思感悟
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