曲线和方程
教案
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五年制师范学校统编
教材
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《数学》
课题 曲线和方程教案
教学目标
1(使学生了解曲线的点集与方程的解集之间的关系，从而掌握“曲线的
与“方程的曲线”这两个概念( 方程”
2(使学生掌握证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0的
方法
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和步骤(
3(通过曲线和方程概念的知识形成过程，培养学生合情推理能力、数学
交流能力、探索能力，确立“数形结合”的
思想
教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿
方法，并进一步提高逻辑思维
能力(
教学重点与难点:对“曲线的方程”、“方程的曲线”定义中两个关系的理解( 教学过程
引言:解析几何重要
内容
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之一是利用代数方法来研究几何中曲线的问题(即通过建立坐标系，利用平面内点和有序实数对之间一一对应关系，建立曲线的方程，并通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质(
导入问题(1)画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程(
)的图象,(
(1)如果M(x，y)是l上的任意一点，它到两个坐标轴的距离一定相等，00
因此x=y，那么它的坐标(x，y)是方程x,y=0的解;反过来，如果(x，y)000000
是方程x,y=0的解，即x=x，y=y，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距00
离相等，它一定在这条平分线l上(为此把直线l与方程x,y=0密切地联系了
起来(
1
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2 (2):如果点M(x，y)是C上的点，那么(x，y)一定是y=2x的解;反00002过来，.如果(x，y)是方程y=2x的解，那么以它为坐标的点一定在C上(曲线0022C上的任一点P的坐标(x，y)一定是y=2x的解;但若(x，y)是y=2x的解，00002以它为坐标的点不一定在C上，有一部分在y=2x(x,,1或x,2)的图象上(
以上两个问题反映了点集C与方程的解集不是一一对应的两种截然不同的
不完整的关系(那么怎样才能使点集C与方程的解是一一对应的呢,为了研究
方便，从曲线是点按照某种条件运动所成的轨迹的意义来说，我们也把直线看
成曲线(在平面直角坐标系中，点和有序实数对(x，y)联系起来，而二元方程
f(x，y)=0的任一个解恰是一个有序实数对(现在我们一起归纳一下要具备的
条件(
二、讲授新课
y)=0应具备以下两个条件: 曲线C和二元方程f(x，
1(若P(x，y)?C，则f(x，y)=0成立; 0000
2(若f(x，y)=0，则P(x，y)?C( 0000
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨
迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的解建立了如下的关系:
1(曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
2(以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的
方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)(
例1.见教材P36 例1
例2(设两点的坐标是A(-1，2)、B(3，-4)，求线段AB的垂直平分线的方
程(
首先由学生分析:根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决(
解:(1)易求线段AB的中点坐标为(1，-1)，由斜率关系可求
3得l的斜率为2x,3y,5,0,所以直线的方程为这说明点的坐标2
是方程2x,3y,5,0的解(
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点(设点M(m,n)的坐标是方程?的任意一解，M到A、B的距离分别为
12，综合(1)、(2)，?是所求直线的方程( MA,13(n,2n，5),MB2
2
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例3 证明到两定点A、B的距离是8，求到两定点距离平方和是50的动点的轨迹方程。 证明:1(建立合适的坐标系以AB所在的线段为X轴，中点为原点做y轴，则A的坐标为(-4，0);B的坐标为(4，0)
设M(x,y)是圆上任意一点(由题意得:
22AM，BM,50
222222,,,,(x，4)，y，(x,4)，y,50
22x，y,9
22222(设(x，y)是方程x+y=9的解，那么x+y=9(若M为(x，y)对应的点， 000000
222222MA，MB,(x，4)，y，(x,4)，y0000
22,2(x，y)，3200
,2，9，32
,50
22这说明点M在曲线上，即方程的解为坐标的点在曲线上。 由1、2可知，x+y=9是以坐标原点为圆心，半径等于3的圆的方程(
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0(证明中分两个步骤:第一步，设M(x，y)是曲线C上任一点，证明(x，y)是0000f(x，y)=0的解;第二步，设(x，y)是f(x，y)=0的解，证明点M(x，y)在曲线C上( 0000三、练习P38 1.2
四、小结:曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下两个条件:1(若P(x，y)?C，00则f(x，y)=0成立;2(若f(x，y)=0，则P(x，y)?C 000000
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0(证明中分两个步骤:第一步，设M(x，y)是曲线C上任一点，证明(x，y)是0000f(x，y)=0的解;第二步，设(x，y)是f(x，y)=0的解，证明点M(x，y)在曲线C上( 0000五、作业:P38 练习3(1)、4、5
六、板书设计(略)
3
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