半正定矩阵性质的研究论文

半正定矩阵性质的研究论文 本科毕业论文 半正定矩阵的性质 学 号:201012010333 学生姓名:王 悦 指导教师:高福顺 所在学院:数学与统计学院 所学专业:数学与应用数学 二O一四年五月 摘 要 本文在半正定矩阵定义的基础上, 应用正定矩阵的相关性质, 研究了半正定矩阵的性质, 判定及其实际应用. 关键词:矩阵; 半正定矩阵; 主子式; 合同变换 I Abstract In this paper, we studied the properties, decision and practical application of positive semi-definite matrix by using the properties of definite matrices based on the definition of positive semi-definite matrix. Keywords:Matrix; Positive semi-definite matrix; Principal minor; Congruent transformation II 目 录 中文摘要………………………………………………………………………………? 英文摘要………………………………………………………………………………? 目 录…………………………………………………………………………………? 1. 引 言……………………………………………………………………………………1 2.主要结果…………………………………………………………………………………2 2.1基本概念………………………………………………………………………2 2.2半正定矩阵的性质…………………………………………………………………3 n,1 2.3秩为的半正定矩阵的性质……………………………………………………6 3应用举例………………………………………………………………………………………7 致 谢………………………………………………………………………………………9 参考文献……………………………………………………………………………………10 III 1.引 言 矩阵是线性代数的一个重要内容, 是解决许多实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的重要工具, 在物理学及其它科学技术领域, 在经济及其它社会领域都有广泛的应用. 1850年, 英国数学家西尔维斯特(SylveSter, 1814_1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时, 因为无法使用行列式而引入了矩阵的概念, 它的产生对于解线性方程组有很大的帮助. 1989年, 陈顺卿, 冯慈璜等人对正定矩阵做出了进一步的研究, 给出了关于矩阵特征根的一个不等式, 由此导出有关矩阵迹的一些不等式. 1994年, 姚存峰在关于次半正定矩阵一文中给出了次半正定矩阵的基本概念. 论述了次半正定矩阵的基本性质, 讨论了次半正定矩阵Kroneeker乘积和Hadamard乘积的次半正定性. 1996年, 欧本博在关于半正定矩阵的一些结果中给出半正定矩阵的一种合同标准形并由此得出了半正定矩阵的两个性质:半正定矩阵的行列式非负; 可逆半正定矩阵的逆矩阵也半正定. 2004年, 朱广化在半正定矩阵迹的两个不等式一文中,利用矩阵代数的理论与方法, 研究了半正定矩阵的不等式问题, 给出半正定矩阵迹的两个不等式. 2009年, 邹黎敏, 胡兴凯, 伍俊良, 在正定矩阵的性质及判别法一文中, 得到了正定矩阵对称积, 实部的估计, 谱半径估计以及行列式估计的一些结果. 提出了判断矩阵正定性的算法,并给出了算例. 2009年7月, 刘畅, 徐兆棣在正定矩阵性质的推广一文中, 通过运 A,B用正定矩阵的定义和一般理论, 得出了正定( 半正定) 矩阵的偏序理论, 即是正定( 半正定) 矩阵的一些重要性质, 得出了一些矩阵不等式; 并将代数中的均值不等式推广到矩阵形式的不等式. 本文在前人研究的基础上, 以半正定矩阵的概念为基础, 应用正定矩阵的相关性质, 研究半正定矩阵的性质, 判定及其应用问题, 从而更深刻的理解半正定矩阵的内涵和性质. 1 2.主要结果 2.1 基本概念 定义2.1.1 正定矩阵 nTn，nT设, , 若任意的, 都有, 则称为对称正定矩A0,X,RXAX,0A,RA,A A,0.阵, 记 定义2.1.2 半正定矩阵 nTn，nTX,RXAX,0设A,R, , 若对于任意的, 有, 则称矩阵为半正定矩A,AA A,0A,B,0阵. 记作. 如果,记作. A,B 定义2.1.3 矩阵的特征值与特征向量 nn，nAx,,x,,Px,P设, 若存在和非零向量, 使得成立, 则称 为的,P,AA nx一个特征值. 非零维列向量称为矩阵的属于(对应于)特征值的特征向量, 简,A 称的特征向量. A 定义2.1.4 合同变换 n，nn，nTABFB,FP,FPAP,B设, , 如果存在可逆矩阵, 使得, 则称在数域上AAB与合同, 也称对进行合同变换化为. 定义2.1.5 可对角化 n，nn，n,1A,FP,FPAP,D设, 若存在可逆矩阵, 使得为对角矩阵, 那么称矩阵A可对角化. 2 定义2.1.6 张量积 aBaBaB？,,n11121,,aBaBaB？,,21222n 设, , 则AB称为与的,,AB，，，，B,bA,aijij,,p，qm，n？？？？,,,,aaaB？12mmmn,,mp，nq张量积. 2.2半正定矩阵的性质 2.2.1运算性质 n，n 性质1 设, 是对称矩阵, 且, 那么也为半正定的. ,RA,0,B,0ABAB， TTn，nXBX,0XAX,0由于, 是对称矩阵, 且, 则有, 证明 ,RA,0,B,0AB 那么有 TTT ，，XA，BX,XAX，XBX,0所以为半正定的. A，B n，nA,0性质2 设 ,R是对称矩阵, 且, , 则也为半正定的. aAa,0A Tn，nA,0XAX,0,R证明 由于 是对称矩阵 且, 则有, 那么有 A TTT ，，，，XaAX,aXAX,aXAX,0 aA所以为半正定矩阵. n，nAB,R 设性质3, 是对称矩阵, 且, 是半正定矩阵充分必要A,0,B,0AB AB,BA条件是. n，nAB,BAP,R证明 (必要性) 因为, 是对称矩阵, 且, 则存在可逆矩阵,AB ,1,1使得同时为对称阵, 所以有: PAP,PBP ,,,,,,,11,,,,,1,1PAP？PBP？,,,，，,,,,0 , ,,,,nn,,,,,,,nn,,,, 3 ,,,,,11,,,1,1,1？AB,PAPPBP,PP0则 ,则的所有特征值大于等于, AB,, ,,,,,nn,,所以为半正定矩阵. AB (充分性) 因为是半正定矩阵,所以是对称阵,则有ABAB ,,.证毕. ，，AB,AB,BA,BA 性质4 设, 为半正定矩阵, 那么也为半正定的. AB,AB 证明 设为半正定矩阵, 设, ,则，，,,，，,,A,B,A,,，？,,,B,u,？,u1m1m ,,0,u,0, ij 而且 ,,，，,A,B,,u,i,1,？,m,j,1,？,nij ,u,0由于, 所以也是半正定的. A,Bij 2.2.3 分解性质 设为一个阶实对称矩阵, 秩下列命题等价: n(A),rA (a)是半正定矩阵; A (b)的所有特征值, ,,0 ; ,？,0？0i,1,？,rAi1r (c)的所有的主子矩阵非负; A TA,BBn(d)存在一个阶矩阵, 秩，，, 使得; B,rB TA,LLn，，(e)存在一个阶下三角矩阵, 秩L,r, 使得; L 2A,CCn，，(f)存在一个阶对称矩阵, 秩C,r, 使得; rnT(g)存在个向量, 使得. b,b,？b,RA,bbr,12iir,1i 4 ,证明 (a)(b)设, 其中为矩阵的特征值, 由于矩阵为半AXX,,,,AX,0A TTTTT正定矩阵, 有, 且, 则, 所以矩阵的XAX,,XX,0XX,0,,,XAXXX\0A 所有特征值非负. ,(a)(c) 设A,,a是的主子矩阵, 由于为半正定的, 所以A,,a也为半正定的, AA A,,a,0由(a)(b)可知A,,a的特征值为非负, 因此,. , ,(c)(b) 设的特征多项式 A knnnnnk,1,2,，，，，，，,x,x,Px，Px,？，,1Px，？，,1PAkn12 P其中为的所有阶子矩阵的和, 由于 (c) , , 假设,P,0,k,1,2？nAk，kx,0kk nnnx,0nx,0如果为任意正整数, 那么并且，，; 如果唯一, 那么, 并且,x,0A ，，, 这表明矩阵不可能有负特征值且为对称矩阵, 所以矩阵特征值存在且,x,0AAAA 非负. ,(b)(f) 由于为对称矩阵, 并且特征值非负, 它正交相似与一个非负对 A TA,UDU角矩阵. 即, 其中是正交矩阵, 是非负对角矩阵UDD TTA,UDUUDU，，D,diagdd？d, 但是当, 然而 12n Ddiagdd,,,？ ，，1n 2TA,C,C,UDU所以. ,C(d)(e) 为了证明这个结论, 首先利用下列这一点: 任何矩阵有一个因数QR C,QRi.e.,, 其中的行正交, 是上三角矩阵. RQ 5 TTTTTTTT设, 的分解为, 有, 那么ABB,BBQRRQ,,,BQR,BQR，，，， TTTTTTTL,R, 那么就有,, 然而是一个下三角矩阵. 所ARQQRLL,,QRL,QRL,T以. A,LL kTT,(b)(h) 设 , 则有, 其中 为的列向量, 由A,BBbik(1,2),？A,bbB,iiii,1 ,,(e)(d) , (f)(d) , 可知结论成立. n,12.3 秩为的半正定矩阵的性质 n，n,,设，, , 秩秩, 为半正定矩阵, 则存在可,R，，，，A,B,n,1A,A,B,BAB ,,P逆矩阵, 使得同时为对角阵. PAP,PBP n，n证明 因为, , 且秩秩, 则存在可逆阵, 使得 ,R，，，，A,B,n,1PAB1 0E,,n,1,,,, ,PAP11,,00,, ,此时, 为半正定矩阵, 设 PBP11 ,B,,n,1,,,PBP,, 11,,,,bnn,, ,,,0若b,0, 则由为半正定矩阵知, 此时 PBPnn11 0B,,n,1,,,,, PBP11,,00,,,,n,1B,BQQBQ,D , 存在阶正交阵使得为对角阵, 令 n,1n,1n,1n,1n,1n,1n,1 0Q,,n,1,,,, Q,,01,,则 ,00QBQD,,,,n,1n,1n,1n,1,,,,,,,,，，, QPBPQ11,,,,0000,,,, 6 为对角阵. 同时, 0E,,n,1,,. ,,，，,QPAPQ11,,00,, ,,设, 则同时为对角阵. P,PQPAP,PBP1 ,E,,,n,1,若, 设, 则 ,,b,0,Qnn,,01,, ,B,,,0,,n,1,,,,，，, QPBPQ,11,,0bnn,, 0E,,n,1,,,,, ，，,QPAPQ11,,00,, ,n,1n,1由于为阶对称阵, 则存在阶正交阵使得 B,,,Qn,1n,1 ,, ，，QB,,,Q,Dn,1n,1n,1n,1为对角阵, 令 0Q,,n,1,,, ,Qn,,01,,则 0E,,n,1,,,,,，，,, QQPAPQQn11n,,00,, D0,,n,1,,,,,，，QQPAPQQ,, n11n,,0dnn,, ,,P,PQQ令, 则同时为对角阵. PAP,PBP1n 7 3. 应用举例 bE,A例1 设分别为阶是对称的最小, 最大特征值, 证明是半正定阵. Ana,b ,,bE,A证明 因为, 则知是实对称阵, 设为的任一特，，bE,A,bE,A,bE,Ac b,c征值, 则知为是实数, 再由，，，，, 即是的特征值, ,,cE,bE,A,,b,cE,A,0c bb,c,bc,0bE,A因为是最大特征值, , 即, 则为半正定. n，n,例2 设, A,A, 则A是秩为的半正定矩阵的充分必要条件是A,Rr n线性无关, 使得 ，,？,,R1r ,,,. A,,,，,,，？,,1122rr AP证明 (必要性) 由半正定矩阵秩知, 存在可逆矩阵, 使得 ，，A,r 000EEE,,,,,,rrr,,,,,,,,,,, APPPP,,,,,,000000,,,,,, 0E,,r,,,令,, 则 TP,,00,, , ，，T,,,？,,,0,？,01r ,P其中为的前个列向量, 此时 ,,？,,r1r 0E,,r,,,,, T,,00,, 于是 ,,,,1,,？,, ,,,,r,,,,,,,,0,,0，，TA,,？,？,,,，,,，？，,, . 1r1122rr0,, ,,？,,,,0,, 8 ,,,,x (充分性) 在两端同时左乘, 又乘, 得 A,,,，,,，？,,x1122rr ,,,,,,, xAxx,,xx,,x？x,,x,，，1122rr ,,, ，，，，，，，，，，，，x,x,x,x,？x,x,,，，1122rr ,,x,,x,,，,x,,x,,，？,x,,x,,1122rr ,0, ,即半正定, 设, 则, 再设 AA,BB，，，，B,,,,,？,,,0,？,0C,,,,,？,,12rr12r 即, 由于线性无关. 所以, 存在可逆矩阵P, 使得 ，，B,C,0,,,，？，,r12r 0E，，r, ,，，,0,PBPCr,,00，， 则 000EEE，，，，，，rrr, ,,PAP,,,,,,000000，，，，，，,,PAPA由于秩()秩(CA) , 的秩为. ,rr 2nn,,2nxx,,,例3 证明，，是半正定的. fx,？,x,,,ii1n11i,i,,, 2nn,,,,22222,,nxx,,,n，，x？xx？x2xx，，,，，，证明 由= ,,ii,1n1nij,,11i,i,,,1,i,j,n,, 22222,,，，x,x,0 ，，n,1，，x，？，x,，，2xxx,2xx，x,iijj,ijij,,n11,i,j,n1,i,j,n1,i,j,n n即都有, ，，,X,x,x,？,x,R12n 2，，，，fx,？,x,x,x,0, ,ij1n1,i,j,n ，，fx,？,x故是半正定二次型. 1n m，n,AAA,R例4 设，证明为半正定. ,mn，，AX,y,？,y,R证明 任取 设则 X,R,1m ,22,,，，，，，，XAAX,AXAX,y，？，y,0, m1 ,,AAAA又因为是实对称阵, 故半正定. 9 致 谢 历时半年的时间终于将这篇论文写完, 在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍, 都在同学和老师的帮助下度过了. 尤其要强烈感谢我的论文指导老师—高福顺老师, 他对我进行了悉心的指导和帮助, 不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进.另外, 在校图书馆查找资料的时候, 图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助. 在此向帮助和指导过我的各位老师表示由衷的感谢! 同时还要感谢这篇论文所涉及到的各位学者. 本文引用了数位学者的研究文献, 如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发, 我将很难完成本篇论文的写作. 最后感谢我的同学和朋友, 在我写论文的过程中给予我了很多素材, 还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助. 10 参考文献 [1]Pullman N P . 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