2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.将方程(x−1)2=6化成一元二次方程的一般形式，正确的是(    )A.x2−2x+5=0B.x2−2x−5=0C.x2+2x−5=0D.x2+2x+5=02.某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别是按40%，60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为(    )A.88分B.87.5分C.87分D.86分3.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1，AB=6，则⊙O半径的长为(    )A.3B.4C.5D.无法确定4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA=50°，则∠ABC的度数等于(    )A.30°B.40°C.50°D.60°5.三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为(    )A.2B.3C.4D.56.关于x的一元二次方程ax2+bx=c(ac≠0)一个实数根为2022，则方程cx2+bx=a一定有实数根(    )A.2022B.12022C.−2022D.−12022二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7.方程x2=3x的解为：______．8.如 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 中24位营销人员某月销量的中位数是______件．每人销售量/件6005o0400350300200人数446729.2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为SH2，最低气温的方差为SL2，则SH2______SL2(填“>”、“<”或“=”)．10.一元二次方程2x2−bx+c=0的两根为x1，x2，若x1+x2=5，x1⋅x2=−2，则b=______，c=______．11.若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是______．12.如图，半圆O的直径AD=8cm，B、C是半圆上的两点，且∠ABC=110°，则CD的长度为______cm．13.如图，正九边形的对角线AF、CH相交于点P，则∠CPF=______．14.已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程(a−c)x2+2bx+a+c=0没有实数根，则△ABC是______三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”)．15.某农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，且第一年的增长率是第二年的两倍．如果设第二年的增长率为x，则可列方程为______．16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P在AB边上运动(不与点A、B重合)，过点P作PQ⊥PC，交射线CA于点Q，则线段CQ长度的最小值为______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 ）17.(本小题8.0分)解下列方程(1)x2−2x−1=0；(2)x2−6x+9=(2x−1)2．18.(本小题7.0分)体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛．在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如表(单位：cm)：甲585596609610595乙580603613585624(1)已知甲运动员的平均成绩是599cm，求乙运动员的平均成绩；(2)从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩．19.(本小题7.0分)把一根长80cm的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形．要使这两个正方形的面积和等于250cm2，应该怎样剪？20.(本小题6.0分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆弦AB、AC分别与小圆分别相切于点D、E.求证：∠B=∠C．21.(本小题8.0分)某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出：如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票收入达到36750元，票价应定为多少元？22.(本小题8.0分)求证：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C=∠B+∠D=180°．证明：作直径AE，连接BE、DE．所以∠ABE=∠ADE=90°．因为∠CBE=∠CDE，(①)所以∠ABC+∠CDA=∠ABE+∠EDA=180°．同理∠DAB+∠BCD=180°．(1)证明过程中依据①是______；(2)请给出另一种证明方法．23.(本小题8.0分)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且CE=BC，BE分别交CD、AC于点F、G．(1)求证：∠CAB=∠DCB；(2)求证：F是BG的中点．24.(本小题8.0分)已知关于x的一元二次方程是x2−(m+2)x+m+1=0．(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值．25.(本小题8.0分)如图，已知点D在△ABC边AC上，且AD=AB，以AB为直径的⊙O与BC相切，与AC相交于点E．(1)求证：∠BAD=2∠DBC；(2)当AD=3，CD=2时，求BD的长．26.(本小题8.0分)用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图，点P为⊙O内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕(保留痕迹，给出必要的文字说明)．(1)折叠后圆弧经过点O、P；(2)折叠后圆弧与过点P的直径相切，切点为P．27.(本小题12.0分)【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1)、B(−b,c)，以AB为直径作⊙P.若⊙P交x轴于点M(m,0)、N(n,0)，则m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根．【探究】(1)由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+(−b−m)2，AB2=(1−c)2+b2.在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2所以12+m2+c2+(−b−m)2=(1−c)2+b2．化简得：m2+bm+c=0.同理可得：______．所以m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根．【运用】(2)在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2=0两根为横坐标的点M、N．(3)已知点A(0,1)、B(6,9)，以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．【拓展】(4)在平面直角坐标系中，已知两点A(0,a)、B(−b,c)，若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是______．答案和解析1.【答案】B 【解析】解：(x−1)2=6，x2−2x+1−6=0，x2−2x−5=0，即将方程(x−1)2=6化成一般形式为x2−2x−5=0，故选：B．先去括号，再移项，最后合并同类项即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)．2.【答案】A 【解析】解：他的数学学期总成绩为85×40%+90×60%=88(分)，故选：A．根据学期数学总成绩=期中数学成绩×所占的百分比+期末数学成绩×所占的百分比即可求得学期总成绩．本题考查的是加权平均数的求法．解题的关键是根据期中、期末两次成绩所占的比例，列出算式，是一道基础题．3.【答案】C 【解析】解：连接OA，设⊙O的半径为r，则OA=OC=r，∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，AB=6，∴AE=BE=3，∠AEO=90°，由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，∴r2=32+(r−1)2，解得：r=5，即⊙O的半径是5，故选：C．连接OA，根据垂径定理求出AE=BE=3，根据勾股定理得出关于r的方程，再求出方程的解即可．本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．4.【答案】B 【解析】解：连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=50°，∴∠AOC=180°−(OAC+∠OCA)=80°，∴∠ABC=12∠AOC=40°，故选：B．连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA=50°，根据三角形内角和定理求得∠AOC=80°，由圆周角定理即可求出∠ABC的度数．本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．5.【答案】A 【解析】解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，∴62+82=102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的内切圆半径r=6+8−102=2．故选：A．先根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为a+b−c2进行计算即可．本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为a+b−c2．6.【答案】D 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx=c(ac≠0)一个实数根为2022，∴20222a+2022b=c，∴a+b2022=c20222，∴c20222−b2022=a，∴x=−12022是方程cx2+bx=a的实数根．故选：D．根据一元二次方程根的定义：将x=2022代入方程ax2+bx=c中，再两边同时除以2022，可得结论．此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键．7.【答案】x1=0，x2=3 【解析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．解：移项得：x2−3x=0，即x(x−3)=0，于是得：x=0或x−3=0．则方程x2=3x的解为：x1=0，x2=3．故答案是：x1=0，x2=3．本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．8.【答案】350 【解析】解：表中的数据是按从小到大的顺序排列的，处于中间位置的是350和350，因而中位数是350+3502=350，故答案为：350．根据求中位数的方法求即可．本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.【答案】> 【解析】解：观察气温统计图可知：这七天最低气温比较稳定，波动较小；故最低气温的方差小．所以SH2>SL2．故答案为：>．根据气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温的波动要小，由方差的意义知，波动越小，数据越稳定，即方差越小．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．10.【答案】10 −4 【解析】解：∵x1+x2=b2=5，x1⋅x2=c2=−2，∴b=10，c=−4．故答案是：10；−4．根据根与系数的关系解答．本题主要考查了根与系数的关系．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．11.【答案】8π 【解析】解：底面半径为2，则底面周长=4π，侧面展开图是半圆，则母线长=4π×2÷2π=4，∴圆锥的侧面积=12×4π×4=8π．故答案为：8π．利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键．12.【答案】8π9 【解析】解：如图，连接OC，CD，∵∠ABC=110°，∴∠D=180°−110°=70°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠D=70°，∴∠COD=40°，∴弧CD的长度为40π×(82)180=8π9(cm)．故答案为：8π9．连接OC，CD，由∠ABC=110°，得∠D=180°−110°=70°，根据OC=OD，所以∠OCD=∠D=70°，∠COD=40°，即可求出答案．本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟记弧长公式和正确求出∠COD=40°是关键．13.【答案】100° 【解析】解：设正九边形外接圆的外心为O，连接OA，OB，OC，AH，则∠AOB=∠BOC=360°9=40°，∴∠AOC=80°，∴∠AHC=12∠AOB=40°，同理∠PAH=40°，∴∠CPF=∠APH=180°−∠PAH−∠PHA=100°，故答案为：100°．设正九边形外接圆的外心为O，连接OA，OB，OC，AH，根据正多边形的性质得到∠AOB=∠BOC=360°9=40°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．14.【答案】钝角 【解析】解：根据题意得a−c≠0且Δ=4b2−4(a−c)(a+c)<0，即b2−a2+c2<0，所以b2+c20时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．15.【答案】3000(1+2x)(1+x)=3630 【解析】解：∵第一年的增长率是第二年的两倍．第二年的增长率为x，∴第一年的增长率为2x．依题意得：3000(1+2x)(1+x)=3630．故答案为：3000(1+2x)(1+x)=3630．由第一年及第二年增长率间的关系，可得出第一年的增长率为2x，根据该农场的粮食产量在两年内从3000t增加到3630t，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】3 【解析】解：取QC的中点O，连接PO，如图所示，∵PQ⊥PC，∴OP=12CQ=OQ=OC，如果线段CQ长度的最小，只要OP的长度最小即可，故当OP⊥AB时，OP取得最小值，设OP=x，则AO=4−x，∵∠OAP=∠BAC，∠APO=∠ACB，∴△APO∽△ACB，∴AOAB=OPBC，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=AC2+BC2=42+32=5，∴4−x5=x3，解得x=32，∴CQ=2x=3，即CQ的最小值为3，故答案为：3．先取QC的中点O，连接PO，根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系可以得到OP和CQ的关系，然后可以得到当OP取得最小值时，CQ就可以取得最小值，然后根据题意可知，当OP⊥AB时取得最小值，再根据相似三角形的判定和性质可以得到OP的值，从而可以得到CQ的最小值．本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17.【答案】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=2，即(x−1)2=2，∴x−1=±2，∴x1=1+2，x2=1−2；(2)x2−6x+9=(2x−1)2，(x−3)2−(2x−1)2=0，[(x−3)+(2x−1)][(x−3)−(2x−1)]=0，∴3x−4=0或−x−2=0，∴x1=43，x2=−2． 【解析】(1)利用配方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18.【答案】解：(1)乙运动员的平均成绩是15×(580+603+613+585+624)=601(分)；(2)把甲运动员的成绩从小到大排列为：585，595，596，609，610，中位数是596分；把甲运动员的成绩从小到大排列为：580，585，603，613，624，中位数是603分；从中位数来看，乙运动员的跳远成绩好，从平均成绩来看，也是乙运动员的跳远成绩好． 【解析】(1)根据平均数的 计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 进行解答即可；(2)从中位数和平均数两方面进行 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，即可得出乙运动员的跳远成绩好．本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．19.【答案】解：设剪成的一段为x cm，则另一段就为(80−x)cm，由题意得(x4)2+(48−x4)2=250；解得：x1=42，x2=38．答：剪成的一段为42 cm，则另一段就为38 cm． 【解析】利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．20.【答案】证明：连接OD、OE，OA，如图，∵大圆弦AB、AC分别与小圆分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD=BD，AE=CE，∵AD=OA2−OD2，AE=OA2−OE2，∴AD=AE，∴AB=AC，∴∠B=∠C． 【解析】连接OD、OE，OA，如图，先根据切线的性质得到OD⊥AB，OE⊥AC，再根据垂径定理得到AD=BD，AE=CE，则利用勾股定理可证明AD=AE，所以AB=AC，然后根据等腰三角形的性质得到结论．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理．21.【答案】解：设票价应定为x元，依题意有x[1200−30(x−30)]=36750，30x2−2100x+36750=0，解得：x1=x2=35．答：票价应定35元． 【解析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程解题．此题考查一元二次方程的实际运用，找出销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．22.【答案】在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等 【解析】证明：连接BO，DO，由圆周角定理得：∠A=12∠2，∠C=12∠1，∵∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=180°，同理∠B+∠D=180°．即圆内接四边形的对角互补．(1)根据圆周角定理可得答案；(2)连接BO，DO，根据圆周角定理证得∠A=12∠2，∠C=12∠1，进而根据∠1+∠2=360°，证得∠A+∠C=180°即可证得结论．本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．23.【答案】证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAB+∠ACD=90°，∴∠CAB=∠DCB；(2)∵弧CE=弧BC，∴∠CBE=∠CAB，∵∠CAB=∠DCB，∴∠CBE=∠BCD，∴FB=FC，∵∠CGB+∠CBG=∠DCG+∠BCF=90°，∴∠CGB=∠DCG，∴FC=FG，∴FB=FG，∴F是BG的中点． 【解析】(1)首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠ACD+∠DCB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，所以∠CAB=∠DCB；(2)由弧CE=弧BC，∠CBE=∠CAB，所以∠CBE=∠BCD，FB=FC，再根据∠CGB+∠CBG=∠DCG+∠BCF=90°，得∠CGB=∠DCG，所以FC=FG，即可得FB=FG．本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径对的圆周角是直角．24.【答案】(1)证明：∵Δ=(m+2)2−4×1×(m+1)=m2+4m+4−4m−4=m2≥0，∴无论m取何值，此方程总有两个实数根；(2)解：设方程x2−(m+2)x+m+1=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=m+22，x1x2=m+1，且x1=2x2∴3x2=m+22，2x22=m+1，∴m2−14m−14=0，∴m=14±1872=7±97． 【解析】(1)根据根的判别式得出Δ=(2m+1)2−4×1×(m−2)=4m2+9>0，据此可得答案；(2)设方程有两个实数根x1，x2，根据根与系数的关系得出x1+x2=−(2m+1)，x1x2=m−2，且x1=2x2得出关于m的方程，解之可得答案．本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=−p，x1x2=q．25.【答案】(1)证明：连接AF，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BD，∵AB=AD，∴AF平分∠BAD，即∠BAD=2∠BAF，∵以AB为直径的⊙O与BC相切，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠DBC=90°，∴∠BAF=∠DBC，∴∠BAD=2∠DBC；(2)解：连接BE，如图，∵AD=3，CD=2，∴AB=3，AC=5，∴BC=52−32=4，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵12BE⋅AC=12AB⋅BC，∴BE=3×45=125，∴AE=AB2−BE2=32−(125)2=95，∴DE=AD−AE=3−95=65，在Rt△BDE中，BD=DE2+BE2=(65)2+(125)2=655． 【解析】(1)连接AF，如图，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，则利用等腰三角形的性质得到AF平分∠BAD，所以∠BAD=2∠BAF，再根据切线的性质得到∠ABC=90°，则利用等角的余角相等得到∠BAF=∠DBC，从而得到∠BAD=2∠DBC；(2)连接BE，如图，先利用勾股定理计算出BC=4，再利用面积法计算出BE=3×45=125，接着利用勾股定理计算出AE=95，所以DE=65，然后在Rt△BDE中利用勾股定理可计算出BD．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．26.【答案】解：(1)如图①中，折痕TQ，EOF即为所求．(2)如图②中，折痕RJ，RPJ即为所求． 【解析】(1)连接OP，作线段O判定垂直平分线交⊙O于点T，连接OT，作线段OT的垂直平分线交⊙O于点E，F，以T为圆心作EOF即可；(2)连接PO，延长PO交⊙O于点K，作线段PK的垂直平分线交⊙O于点R，J，作JPR即可．本题考查作图−复杂作图，垂径定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．27.【答案】n2+bn+c=0 ax2+bx+c=0 【解析】解：(1)AN2=12+n2，BN2=c2+(−b−n)2，AB2=(1−c)2+b2，在Rt△ABM中，AN2+BN2=AB2，∴12+n2+c2+(−b−n)2=(1−c)2+b2，化简得：n2+bn+c=0，故答案为：n2+bn+c=0；(2)先在坐标系内找到A(0,1)，B(3,−2)，连接AB，分别A，B为圆心，以大于12AB为半径画弧，连接两弧的交点与AB交于点P，以P为圆心，以AB为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：(3)由题意得：x2−6x+9=0，∵Δ=b2−4ac=(−6)2−4×1×9=0，∴方程x2−6x+9=0有两个相等的实数根，∴⊙C与x轴只有一个交点，即⊙C与x轴相切；(4)由题意得，以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是ax2+bx+c=0．故答案为：ax2+bx+c=0．(1)根据题目中给定的解法求解即可；(2)用尺规作图法做出以AB为直径的圆即可；(3)先根据题意得出方程x2−6x+9=0，再根据判别式Δ=0，得出圆与x轴的位置关系；(4)由题意直接得出结论．本题考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用，关键是对一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法的理解和运用．