6、含三次式的因式分解的题目及其详解（附答案）1、(a+b)3一a3一b2、a3+b3+c3一3abc3、x3+y3一1+3xy4、(a-b)3+(b-c)3+(c-a)35、x3一3x2+47、(a+2b+c)3-(a+b》-(b+c)38、^设a+b+c+d=0证明a3+b3+c3+d3=3(a+d)(b+d)(c+d)9、(x-y1-6(x-y)2z+12(x-y)z2-8z310、2x3+3x2—111、2x3+x2—15x—1812、x3+6x2+11x+6参考答案：1、(a+b)3一a3一b3=2+2ab+b2+b3)=一ab+b2)j=3ab(a+b)2、a3+b3+c3一3abc=[(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2一3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b》-(a+b)c+c2一3ab=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)当a+b+c=0时，a3+b3+c3=3abc也即，如果三数的和为零，那么这三数的立方和就等于这三数乘积的三倍3、x3+y3一1+3xy=(x+y-1)(x2+y2+1一xy+x+y)x3+y3一1+3xy=(x+y-1)(x2-xy+y2+x+y+1)4、(a-bl+(b-c1+(c-a1=3(a-b)(b-c)(c-a)用到第二题的推论5、方法1：x3一3x2+4=x3+x2一4x2+4=x2(x+1)一4C2一1)=x2(x+1)一4(x一1)(x+1)=(x+1)(x2-4x+4)=(x+1)(x一21方法2：x3一3x2+4=x3一2x2一x2+4=x2(x—2)—C2一4)=x2(x一2)-(x一2)(x+2)=(x一2)(x2-x一2)=(x+1)(x一21方法3：x3-3x2+4=Cx3+1)-3Cx2一1)=(x+1)(x2一x+1)-3(x一1)(x+1)=(x+1)(x一2X方法4：x3-3x2+4=(x3-8)一(3x2-12)=方法5：x3一3x2+4=(x3一4x2+4x)+C2一4x+4)=xC2一4x+4)+C2一4x+4)=方法6：x3-3x2+4=(x3-6x2+12x一8)+Gx2—12x+12)=(x一2》+3(x一2X=(a-x)y3-(a-y)x3+(x-y)a3=(a-x)y3-[(a-x)+(x-y)]x3+(x-y)a3=(a一x)y3-(a一x)x3+(x—y)a3-(x一y)x3=(a一x)(y3一x3)+(x一y)(a3一x3)2+ax+x2”=(a一x)(y一x)(y2+xy+x2"+(x一y)[[(a一x)(a=(a一x)(x一y)[(a2+ax+x2)-(y2+xy+x2"=(a一x)(x一y)(a一y)(a+y+x)7、方法1(a+2b+c》-(a+b)3-(b+c)3=(a+2b+c)3-(a+b)3+(b+c》=(a+2b+c)3-(a+2b+c)[(a+b)2-(a+b)(b+c)+(b+c)2=(a+2b+c)「(a+2b+c)z-(a+b)z+(a+b)(b+c)-(b+c)z=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)-(b+c匕=(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)-(b+c)]=3(a+2b+c)(b+c)(a+b)方法2设a+b=A,b+c=B(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3=(A+B)3-A3-B3=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3=3A2B+3AB2=3AB(A+B)=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)b+c=-(a+d)a=-(b+c+d)8、证明根据a+b+c+d=0a3+b3+c3+d3=(a3+d3)+(b3+c3)=(a+d)(a2-ad+d2)+(b+c)(b2-bc+c2)=(a+d)(a2-ad+d2)-(a+d)(b2-bc+c2)=(a+d)^(a2—ad+d2)-(b2—bc+c2)]=(a+d)[(b+c+d)2+(b+c+d)d+d2—C2一bc+c2刀=(a+d)(b2+c2+d2+2bc+2bd+2cd+bd+cd+d2+d2-b2+bc-c2)=(a+d)(3d2+3bc+3bd+3cd)=3(a+d)(b+d)(c+d)9、(x—y)3—6(x—y)2z+12(x—y)z2—8z3=(x—y)3—3(x—y)22z+3(x—y)(2z)2—(2z)3=(x—y—2z)310、2x3+3x2—1=2x3+2x2+x2+x—1)=(x+1)(2x—1)(x+1)=(x+1)2(2x—1)11、2x3+x2—15x—18=(x+2)(x—3)(2x+3)12、x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)
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