null几何体上的积分 几何体上的积分 一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分 重积分的概念与性质 重积分的概念与性质 三、三重积分的定义与可积性 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、体上积分的性质 一、引例一、引例解法: 类似定积分解决问题的思想:
分割、求和、取极限。即1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底： xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” null1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体null4)“取极限”令2. 平面薄片的质量 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .度为设D 的面积为 ,则若非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域 .null2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量null两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同:分割、求和、取极限。即(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和是定义在有界区域 D上的有界函数 , null引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作二重积分存在定理:二重积分存在定理:若函数定理2.定理1.在D上可积.限个点或至多有限条面积为零的曲线外都连续 ,在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . (要求证明) 三、多重积分的定义及可积性三、多重积分的定义及可积性多重积分的定义 特别地, 三重积分记为nulln重积分记为n元函数的可积性条件与二元函数的类似, 比如四、体上积分的性质四、体上积分的性质 为D 的面积, 则 null特别, 由于则5. 若在Ω上6. 设几何体为平面图形时V为面积, 为空间立体时V为体积.
几何体为曲线时V上曲线长, 为曲面时V是曲面的面积. 则有null7.(积分中值定理)在闭区域Ω上可积,g在Ω上不变号.设M和m分别为f在Ω上的上确界和下确界.则存在常数使特别地,若f在Ω上连续,则至Ω少存在一点例1. 比较下列积分的大小:例1. 比较下列积分的大小:其中解: 积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位从而于直线的上方, 故在 D 上 例2. 估计下列积分之值例2. 估计下列积分之值解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2二重积分的对称性质二重积分的对称性质结论1：如果积分区域D关于y轴对称，且 结论2：如果积分区域D关于x轴对称，且则 则 null结论3：如果积分区域D关于坐标原点O对称，则其中结论4：如果积分区域D关于直线y＝x对称，则null在第一象限部分, 则有内容小结内容小结1. 可求面积、体积的定义，零边界区域。3. 体上积分的性质(与定积分性质相似)2. 体上积分的定义思考与练习思考与练习被积函数相同, 且非负, 解: 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 < y <1, 故故在D上有3. 证明:3. 证明:其中D 为解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .补充补充1. 估计 的值, 其中 D 为解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值2. 判断2. 判断的正负.解：当时，故又当时，于是null思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.null 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答null练 习 题nullnullnull练习题
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
null记号(设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 表示表示定理12.3.3定理12.3.3的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有其中①②① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项 .证: 令证: 令则 利用多元复合函数求导法则可得: null一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 说明:说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , 则有 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:注: 当D为凸区域 时, 得拉格朗日中值公式仍然成立,
这便是定理12.3.1, p.165. (推论12.3.1, p.166,其证明不作要求)例1. 求函数例1. 求函数解: 的三阶泰勒公式. 因此,null其中
浙公网安备 33021202002483