21.１一元二次方程第１课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念;一般式aｘ２+ｂx+c＝0(a≠0）及其派生的概念;应用一元二次方程概念解决一些简单
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
目.1.通过设置问题,建立数学模型,模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念.3.解决一些概念性的题目.4．态度、情感、价值观5．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动:列方程． 问题（1)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈，问户高、广各几何?” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少？ 如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意,得__＿_＿___．整理、化简，得:_＿__＿_＿___.ACCB问题(2）如图,如果，那么点Ｃ叫做线段ＡB的黄金分割点．ABACACBwww.czsx.com.cn 如果假设AＢ=1,AＣ=x,那么BＣ＝＿_______,根据题意,得:＿_______．整理得：_＿_＿＿＿＿_＿. 问题（3)有一面积为５4ｍ2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2ｍ，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少?如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长方形长是___＿____,宽是＿＿___,根据题意，得：＿______． 整理，得：___＿＿_＿_． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动:请口答下面问题． (1）上面三个方程整理后含有几个未知数? （２）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次?（3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1)都只含一个未知数x;（2）它们的最高次数都是2次的；（３)都有等号，是方程. 因此,像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是２（二次)的方程,叫做一元二次方程．一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ａx2+bx+c＝0(a≠０).这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成aｘ2+bx+c=0（a≠0)后,其中ａx2是二次项,a是二次项系数；bｘ是一次项,ｂ是一次项系数;c是常数项． 例１.将方程（8-2x)(5-2x）=１8化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.分析：一元二次方程的一般形式是ａｘ2+bx+ｃ=0(a≠0).因此，方程（8-2x)(5-２x)=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等． 解:去括号，得： 4０－１6x－10x+4ｘ2＝18 移项，得:4x2-26x+２２=0其中二次项系数为4，一次项系数为-２6,常数项为22． 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）２+(x-２)(x＋2)１化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数；常数项．分析:通过完全平方公式和平方差公式把（x+1)2＋(ｘ-2)(x+2)=１化成aｘ２+bx＋c=０(a≠0）的形式． 解：去括号,得:x2+2x+1+ｘ２－４=1 移项,合并得：2x2＋２x－４=０ 其中:二次项2x2,二次项系数2;一次项2ｘ,一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材练习1、2 四、应用拓展 例3．求证:关于x的方程(ｍ2-8ｍ＋1７)x2＋2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程，只要证明ｍ2-8ｍ+1７≠0即可. 证明:ｍ2-8m+17=(m-4）2+１∵（ｍ-4）2≥0∴(m-４）２+1>0,即（m-４)2+1≠0∴不论m取何值,该方程都是一元二次方程. 五、归纳小结(学生总结,老师点评）本节课要掌握： （1)一元二次方程的概念；（2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(ａ≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用. 六、布置作业1．教材习题22.1１、2．2.选用作业设计． 作业设计 一、选择题 １．在下列方程中,一元二次方程的个数是( ).5 ①３x２＋７=０ ②ax2+ｂx＋c=0 ③(ｘ-2)（x+5）＝x2-1 ④3ｘ2－x＝０ Ａ.1个 B.2个C．３个 Ｄ.4个 ２．方程2x2=３(x－6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为()．A．２,3,-６B.２,-3,1８ Ｃ.２，-３，6 D．2,3，６ 3.px2-3x＋p２－q=0是关于x的一元二次方程,则( ）. A．p=1B．p＞0 C．ｐ≠0 Ｄ．ｐ为任意实数 二、填空题１.方程３ｘ２-3=2ｘ＋1的二次项系数为________，一次项系数为＿__＿___＿＿,常数项为_____＿___. 2．一元二次方程的一般形式是____＿___＿_． 3.关于x的方程（a－1）x2+3x=0是一元二次方程，则ａ的取值范围是______＿_．三、综合提高题 1．a满足什么条件时,关于x的方程ａ（ｘ2+ｘ)=3x-(ｘ+1）是一元二次方程？ 2．关于x的方程（２m2+m)xm＋1＋3ｘ＝6可能是一元二次方程吗?为什么？ 3.一块矩形铁片,面积为1ｍ2，长比宽多3ｍ,求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的: 设铁片的长为x，列出的方程为x（x－３）=1，整理得：x2-３x－1＝0.小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程:第一步：ｘ1234x2-3ｘ-1-３-3所以，________
知识点
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解决一些具体问题．重难点关键１．重点：判定一个数是否是方程的根；2．难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题．问题1.如图,一个长为１0m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米?108 设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意,可得方程为＿_＿____＿__＿.整理，得__＿_＿____．列表：x01２３4５678…问题２.一个面积为1２０m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为______＿ｍ． 根据题意,得________. 整理，得_____＿__．列表：x０1２3４5６７8９１０11 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少?(２）如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：(１)问题1中x＝6是x２－36=0的解,问题2中，x=1０是ｘ２+2ｘ-１２0=0的解．（３)如果抛开实际问题，问题(1）中还有ｘ=-6的解；问题2中还有ｘ=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-３6=0有两个根,一个是６,另一个是－6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x＝-12的根也满足题意.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例１.下面哪些数是方程２x2＋１０ｘ+12=０的根? －４,-3，-２,－１,0，1,２，３,4．分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可. 解：将上面的这些数代入后,只有－2和-3满足方程的等式,所以x＝-2或x=-3是一元二次方程2x2＋10x＋12=0的两根．例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-6４=0 （２)3x2－6=０ (3)x2-3x=0 分析：要求出方程的根,就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义.解：（1)移项得ｘ２＝64 根据平方根的意义,得：x＝±8即ｘ1=8，ｘ2=-8(2）移项、整理,得ｘ2=2根据平方根的意义，得ｘ＝±2即x1=2,x2＝-2（３)因为x2-3x=x(x-３）所以x2-3ｘ＝0，就是ｘ(ｘ-3)=0所以x＝0或x-3＝0 即x1=0，ｘ２=３ 三、巩固练习 教材思考题练习1、2．四、应用拓展 例３．要剪一块面积为１５0cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5ｃm,这块铁片应该怎样剪？ 设长为ｘｃm，则宽为（x-５)cm 列方程x(x-5）=１５0，即x2-5x-１50=0 请根据列方程回答以下问题:(1）x可能小于5吗？可能等于10吗?说说你的理由.(２）完成下表:x1011121314１51６17…x2-５ｘ-１５０ （3）你知道铁片的长ｘ是多少吗？ 分析：x2－5ｘ-1５0=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根． 解：(1）x不可能小于5.理由:如果x<5，则宽（x-5）＜0，不合题意. x不可能等于1０.理由：如果ｘ=10,则面积ｘ2-５ｘ－150=-1０0，也不可能.（２)ｘ10 １11２1３1４１51617……x２-５x-１-100－84-66-46-２402654……50 (3)铁片长x=15ｃm 五、归纳小结（学生归纳,老师点评） 本节课应掌握: (1)一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处； （２)要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（3）要会用一些方法求一元二次方程的根. 六、布置作业1．教材复习巩固３、4综合运用5、6、7拓广探索8、９． 2.选用课时作业设计． 作业设计一、选择题1．方程x(x-１)＝2的两根为（ ).A．x1=0,ｘ2=1 B．x1=0,x2＝-１C．x1=1,ｘ2=２D.x1=－1，x2＝22.方程aｘ(x-b）+（b-ｘ)=0的根是（）.11２2 A.x1=b,ｘ2=aB.x１=b,x2= C．x１=a,ｘ２＝ D.x1=ａ，x2=baaac ３．已知x=-1是方程aｘ2+bx+c＝０的根（b≠0）,则=（ ).bbＡ．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题2２ 1．如果ｘ-81=0，那么x-8１=0的两个根分别是x１=__＿_＿＿__,ｘ2=___＿__＿___.2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是ｘ=3,则m的值为＿____＿_＿.２ 3．方程（x+1)＋2ｘ(x＋1)＝０，那么方程的根x1=_＿___＿；ｘ2=＿____＿＿_． 三、综合提高题1.如果x=1是方程ａｘ2+bｘ+3=0的一个根，求（a-ｂ）2＋4ab的值． 2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数,求证：-1必是该方程的一个根．x21 3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在()2-2xxx21x21+1=０,令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想(换元法),解决小明给出xx的问题：在（x2－1）２+（x2-1）=０中,求出(x2-1）2+(x2－1）＝０的根.答案:一、1．D２．B３.A二、1．9，-9 2．-１３ 3．-1，1-2三、1．由已知，得ａ＋b=-3，原式=（ａ+b)2=（－3)２=９．2．ａ+c=ｂ，a-b+c＝0,把x=-1代入得ax2+ｂｘ+c=ａ×(-1)2+b×（-1)+c＝a-b+c=0，∴-1必是该方程的一根．２23．设y=x-1，则y＋ｙ＝0,y1=0,ｙ2=－1，2即当x-1=０，x１=１,x2=－1；22当y2=－1时,x－１=－１，x=0,∴x3=x4=0,∴ｘ1=1，ｘ2=-１,x3=x4=0是原方程的根．2１.２解一元二次方程第１课时教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解ａ（ex+f）2+c=0型的一元二次方程.重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=ｎ(n≥0）的方程;领会降次──转化的数学思想．2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=ｎ,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n（n≥０)的方程．教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1.填空（１）ｘ２-8x+__＿___=（ｘ－＿＿＿＿__）2;(2)9x2+１2x+＿_＿__＝（３ｘ＋_____）２；（3)x2+px+___＿_=(ｘ+＿_____)２.问题2．如图，在△ABC中,∠Ｂ=90°，点Ｐ从点B开始，沿ＡB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点Ｂ开始，沿BC边向点C以2ｃm/s的速度移动,如果AＢ=６cm,BC=12cｍ，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PＢＱ的面积等于8cm２？CQAPBwww.czsx.com.cn 老师点评:pp 问题1：根据完全平方公式可得：(1）16 4;（2）4 2;（３)(）2．22问题２:设x秒后△PBQ的面积等于8ｃm2 则PＢ＝x,ＢＱ=２x1 依题意,得:x·2x=82 ｘ2=8 根据平方根的意义,得x＝±22 即x1=22，ｘ2=-221可以验证，２2和-２2都是方程x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值．2 所以22秒后△ＰＢＱ的面积等于8ｃｍ2. 二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果ｘ换元为2ｔ+1，即(2ｔ+1）２=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22 即2ｔ＋1=22,２t+1＝－2211方程的两根为ｔ１＝2-,t2=-2－22例1:解方程：x２+4ｘ+4=１分析：很清楚，x2＋4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋２）2＝1. 解：由已知，得：（x+２）２=1 直接开平方，得：x+2=±１ 即ｘ+2=１，x+2=-１所以,方程的两根x１=-１,x２=-3 例２.市政府
计划
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2年内将人均住房面积由现在的１0ｍ2提高到1４.4m,求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是１０+10ｘ=10（1+ｘ)；二年后人均住房面积就应该是10（１+ｘ)+１0（1+ｘ）x=10(1＋x)2 解:设每年人均住房面积增长率为ｘ， 则：１0（１+x）2=１４．4 (1＋ｘ）2=1．4４ 直接开平方，得1+ｘ=±1.2即１+x=１.2,１+x=-1.2所以，方程的两根是x１＝0.2=20%，x２=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此，x２=-2．2应舍去. 所以，每年人均住房面积增长率应为20%． (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点:把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”. 三、巩固练习 教材练习.四、应用拓展 例３．某公司一月份营业额为１万元，第一季度总营业额为３.3１万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+x）2. 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.那么１+(1+ｘ)+（1＋x)2=３.３１ 把(１+ｘ)当成一个数，
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得：13 (１+x+）2=2.56，即（x+)2＝2．5６22333 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=－1．6222方程的根为ｘ1=10%,x2＝-3．1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%． 五、归纳小结本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如ｘ2=p(p≥0)，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mｘ+n)2=ｐ(ｐ≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的.六、布置作业 1.教材复习巩固１、2. 2．选用作业设计：一、选择题1．若ｘ2-4x＋p＝(x＋q)2，那么p、ｑ的值分别是().Ａ．p=4，q=２B.p=４，ｑ＝-2 Ｃ．p=-4,q=2 D.p＝-４，q＝-２ 2.方程3x2+9=0的根为（）． A．３ B.-３ C．±3D．无实数根2３.用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ）．318122 A．(x-）2=，x=±393318 B.(x-)2＝－,原方程无解392525252 C．(ｘ-）=，ｘ１＝+,ｘ2=393332512D.(x-)=１,x1＝，ｘ2＝-333 二、填空题 1．若８x2-16＝0，则x的值是＿__＿＿＿＿__． 2.如果方程2（ｘ-3)２=72，那么，这个一元二次方程的两根是______＿_.3．如果ａ、b为实数，满足3a4+b2－12b+３6=0,那么ab的值是____＿__.三、综合提高题 １.解关于x的方程(x+m)2=n. 2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m)，另三边用木栏围成，木栏长4０m．（1）鸡场的面积能达到180ｍ２吗?能达到２00m吗？ (2)鸡场的面积能达到210m２吗？ 3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？答案:一、1．B2.Ｄ3.B二、1.±22.9或-33．－8三、1.当ｎ≥０时，ｘ+m=±n，x１＝n-m,x2＝-n-m．当n<0时,无解2.(1）都能达到.设宽为ｘ,则长为40-2x，依题意，得:x(40-2ｘ）=１80２整理,得:x-２0x+9０=0,x1=10＋10,x2=10-10;同理x(４0-２x）=200，ｘ1=x２=1０,长为40－20=20.（２)不能达到.同理x(４0-２ｘ)=210，ｘ２-２0x+1０5=0，b２－４aｃ=4０0-４1０=-10＜0，无解,即不能达到.3.因要制矩形方框,面积尽可能大，所以,应是正方形，即每边长为1米的正方形.21．2解一元二次方程第2课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程.教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成ｘ2=ｐ(ｐ≥0)或（mx＋n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.重难点关键１．重点:讲清“直接降次有困难，如x２+6x－１6=0的一元二次方程的解题步骤.2.难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.教学过程 一、复习引入 （学生活动)请同学们解下列方程 (1)3x２-1=５(2)4(x-1）2-9=0 (3）４x2＋16x+16=９老师点评:上面的方程都能化成x2＝ｐ或(mx＋n）2＝p(p≥0)的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p(p≥０）. 如：４x2+16x+１6=(２x+4）2 二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答:(１)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队,高高兴兴在游戏,八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一起”.1大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是8１2,那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图,在宽为20m，长为３2m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为５０0０m2,道路的宽为多少？www.czsx.com.cn老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得:1 x=（x）2+128 整理得:x２－６4x+7６８=0问题2:设道路的宽为x，则可列方程:(2０-x）（3２－2x）=500 整理,得:x2-3６ｘ＋70=０ （1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有． （２)不能． 既然不能直接降次解方程，那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面,我们就来讲如何转化: ｘ2-64x+768＝0移项→x=2-６4x=-76864两边加（）2使左边配成x2+2bx＋b2的形式 → x2-６4x＋32２=-768+1０242左边写成平方形式→ （x-３2)2=2５6降次→x-３2＝±1６即 x-32＝16或x-３２=-1６ 解一次方程→x1=48，x２=16 可以验证：x1=48,x2=1６都是方程的根，所以共有16只或48只猴子. 学生活动： 例1.按以上的方程完成x2-3６x+70=0的解题． 老师点评:ｘ2-36x=－70,ｘ2-36x+1８２=-7０+324,（x-18）2=2５4,x－18=±254，x-18=254或x-18=-254，x1≈34,x2≈２．可以验证x1≈３４,x2≈2都是原方程的根,但ｘ≈３4不合题意，所以道路的宽应为2. 例2．解下列关于x的方程 （１)x2+2x-35=0 (２）2x2－4x-１=0 分析:(1）显然方程的左边不是一个完全平方式,因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上． 解：(1）x2－2ｘ=35x2－2x＋12＝35+1(x-１）2=36ｘ-１＝±６ x-１=6，x-１＝-6 x1＝7,x2＝-５2 可以，验证x1=7，x2=-5都是ｘ＋2ｘ－３５=0的两根.11(2)ｘ2-2x－＝0 x2-2x＝2213 x2－2x+12＝+1（ｘ-1）2=22666 x-1=±即x－1=,ｘ-1＝-22266 x1＝１+,x2＝1-2266 可以验证:ｘ1=1＋,x2=1-都是方程的根.22三、巩固练习教材讨论改为课堂练习，并说明理由.教材练习12.(1）、(２）.四、应用拓展例３．如图，在Rt△ACB中,∠C＝9０°,ＡC＝8m，ＣB=6m,点P、Ｑ同时由A,B两点出发分别沿AC、BＣ方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/ｓ,几秒后△PＣＱ的面积为Ｒｔ△ACB面积的一半．APCQBwww.czsx.com.cn 分析:设x秒后△ＰCQ的面积为Rt△ＡBC面积的一半,△PCQ也是直角三角形.根据已知列出等式．解：设ｘ秒后△PCQ的面积为Ｒt△AＣB面积的一半．111 根据题意,得:（8-x）（6-x）=××８×６222 整理，得:x2-１４x+2４＝０2 （ｘ-７)=2５即x１＝１2，x2=2x1=12,ｘ2＝2都是原方程的根,但ｘ１=12不合题意，舍去. 所以2秒后△PCＱ的面积为Rt△ACB面积的一半．五、归纳小结本节课应掌握: 左边不含有ｘ的完全平方形式,左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程. 六、布置作业1.教材复习巩固2. ２．选用作业设计． 一、选择题 1．将二次三项式x2-４x+1配方后得（).A.（x-2)2+3 B．（x-２）2－3 C．（ｘ＋2）2+３ D.（ｘ+2)2-3 2．已知x2-8x+1５＝0,左边化成含有ｘ的完全平方形式,其中正确的是（).A.x2-８ｘ+(-4)2=3１ B．ｘ2-8ｘ+（-４）２＝１ C.x2+8ｘ+４２=１ D．x2-４ｘ+4=-１1 3.如果ｍx2+2(３-2m）x+３m-2=0(ｍ≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于（)． Ａ.1 B．-1 C.1或9Ｄ．-1或9．＿__＿＿__＿方程x２+4x-5=０的解是．１ ﻭ二、填空题 x2x2 2．代数式的值为0,则x的值为______＿_.x21３.已知（x＋y)(ｘ+y+2）－8=0,求x+y的值，若设x+y=ｚ，则原方程可变为＿_＿__＿＿，所以求出z的值即为x+y的值，所以ｘ+y的值为__＿＿＿_.三、综合提高题1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x＋3=０的解,求这个三角形的周长. 2．如果ｘ2-4x+y2＋6ｙ＋z2＋１3=0,求(ｘy)z的值． 3．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为２500元，市场调研表明:当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降５0元时，平均每天就能多售出４台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达50０0元，每台冰箱的定价应为多少元？答案:一、1．B2．B 3．C２二、1.x１=1,x2=-５2.２ 3.z+2z-8=0，2,－4三、１．（x-3）（x-1)=0,x１=3，x2=1，∴三角形周长为９(∵ｘ２=1,∴不能构成三角形）2．（x-2）2+（y+3)2＋z2=0，1∴x＝2，y=-3，z=-２,（xｙ)z=（-６)-2=362900x３．设每台定价为x，则:(x-2500）(8＋×4）＝5000，50x2-5500x+75062５0=0,解得x=27５021.2解一元二次方程第３课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程.教学目标了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目．重难点关键1.重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入 （学生活动）解下列方程: (１)x2-8x+７=0 (２)x2+4x+1=0 老师点评:我们前一节课，已经学习了如何解左边含有ｘ的完全平方形式，右边是非负数,不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：(1）ｘ2-8x+(－4）2＋7-（-４）２＝０ （x-4）2=9 x-4=±3即x1=7,x2＝１ （2）x2+4ｘ=-1 x2＋４x+２2=-1+２２ （ｘ＋2)２＝3即x+2＝±3 x１=3-2，x２=－3-2 二、探索新知 像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法. 可以看出，配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解. 例１.解下列方程 (1）ｘ２+6ｘ＋5=0 (2）2x2+6x-2＝0 （3）(1+x)２+2（1+x）-４=０ 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有ｘ的完全平方. 解:(1)移项，得:x2＋６x=－5 配方:x2+6x+３2=-5+３2(x＋３）2=4 由此可得：ｘ+3=±２，即x1=－1,x2=-5 (2)移项，得：2x2＋6x=-2二次项系数化为1,得:ｘ2+3x=-13335 配方ｘ2+3x＋(）2=-1+（)2(x+）2=2224355353 由此可得ｘ+=±，即x1=-,x２=--222222 (3)去括号，整理得:x2+4x-１=0移项，得ｘ2＋4ｘ=1 配方,得(x＋2）2=5 ｘ+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2三、巩固练习 教材P39 练习 2.(3)、(４）、（5）、（６)． 四、应用拓展 例2.用配方法解方程（6x+7）２（3x+４)(x+1)=6分析:因为如果展开(6x＋7）2，那么方程就变得很复杂，如果把(６ｘ+7)看为一个数1111y，那么(６x+７）２=y2，其它的3x+４=(6x+7)＋,x+1＝(６x+7）－，因此,方程就转2266化为y的方程,像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y1111 则3ｘ+4=y+，x+1=y-22661111 依题意，得:ｙ2（y+）（y－）=62266去分母,得：y2（y+1)（y-１）＝72 ｙ2（y2－1)=7２,y4－y2=7２1289 （y2－)２=24117 ｙ２-=±22 y２=9或y2＝－8（舍) ∴y=±32 当ｙ=3时，6x+7=3 ６ｘ=-４ x=－35 当y=-３时，6x＋7＝-３6x=－10 x=-325 所以,原方程的根为x1=-,x2=－33五、归纳小结本节课应掌握: 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤. 六、布置作业 1.教材复习巩固3. 2．作业设计一、选择题4 １.配方法解方程２x2-x－2=0应把它先变形为（)．3182 A.（x-)2= Ｂ．(x-）2=039318110 C．(ｘ－）２＝ D．（x-)２=3939２.下列方程中，一定有实数解的是（ ）． A．x2+1=0 B.（2x+1)2＝01 C.（2ｘ+1)2+３=0 Ｄ．(x-a）2＝a2 3.已知ｘ2＋y2+ｚ2-2x＋4y-６z+１4=0，则ｘ+y+z的值是（ )． A.1B.2 Ｃ．-1 D.-２ 二、填空题１．如果x2+4x-5＝0，则x＝＿__＿___． 2．无论ｘ、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y＋１6的值总是_______数． 3.如果１6（x-y)2+40（x－ｙ)+25=0，那么x与y的关系是_____＿__．三、综合提高题 1.用配方法解方程. （１)9y2-１8y-4＝０ (2）x2＋3=23xx2y2．已知：x2+4x+y2-６y＋１3=0，求的值.x2y23.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件. ①若商场平均每天赢利120０元,每件衬衫应降价多少元? ②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多？请你设计销售
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.答案:一、1．D2.B３.Ｂ5二、1.１,-5 2.正 ３.x-y=44413三、1．(1)y２-２ｙ-=0,y2-２y=，(y－1）2＝,999131313ｙ-1＝±，ｙ1=+１，y2=1-3332２(2)ｘ-２3x=－3 （x－3)=0，ｘ1＝ｘ2=322２．（x+2）＋(y-３）=0,x1=-２，ｙ２＝3,268∴原式=13133．(1）设每件衬衫应降价x元,则（40－ｘ)（２0+2x）＝1200，２x-3０x+2０0=0,x1=10,x２=20（2)设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y,则y=-2x2+６０x+８０0＝－2(x2-30x)+800=-2[（ｘ-15)2－225］＋８00=－2（x-1５)２+１250∵-2（x-15)2≤0,∴x=1５时,赢利最多,ｙ=1２50元． 答:略21.２解一元二次方程第４课时教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax２＋bx+c＝0（a≠0)的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1.重点：求根公式的推导和公式法的应用.2.难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导.教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程（１）６x2-７x＋1=０ (2）4x2-３x=５2 （老师点评) （1)移项，得：6x2-7x=-171 二次项系数化为１，得：x2-x＝－667717 配方，得:ｘ2-x+（）２=-+（）2612612725 (x-）２=12144755775x－=±x1=+==1 121212121257751x2=-＋==1212126 （2)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评）.(1）移项; (2）化二次项系数为１; (3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4)原方程变形为（ｘ+m）2=n的形式；（５）如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数,则一元二次方程无解.二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+ｂｘ+ｃ=０（ａ≠0）,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题．22 问题：已知ａx+bx+c=0（ａ≠0）且b-4aｃ≥0,试推导它的两个根ｘ1=bb24acbb24ac,x＝2a22a分析:因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：aｘ2＋bx=-cbc二次项系数化为1,得x２+x=－aabbcb 配方,得：ｘ2+x+（）２=－+（）2a2aa2abb24ac即(ｘ+)2=2a4a2∵b2－4ａｃ≥０且4a２＞0b24ac ∴≥04a2bb24ac直接开平方，得：x+=±2a2abb24ac 即x=2abb24acbb24ac ∴x１=,ｘ=2a22a 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c＝０(a≠０）的根由方程的系数a、b、ｃ而定,因此： （1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ａx2+bx+c=0,当b-4ac≥０时，将bb24aca、ｂ、ｃ代入式子x=就得到方程的根.2a（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（３）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根. 例1．用公式法解下列方程. (１)2x2-4ｘ-1=0(２）5x+２=3x2 （３）（ｘ－2)（3x-5)=０ （4)4ｘ2-３x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可.解：(1）a=2，b=-4，ｃ＝-1ｂ2-4ａc=（-4)２-4×2×（-1）＝2４＞0(4)2442626 ｘ＝22422626 ∴x1=,x２=22 (2)将方程化为一般形式 3x２－５ｘ-2＝0 a=3，b=-5,c＝－２b2－4ac=（-5）2-4×3×(-2)=49>0(5)4957 x=2361 x1＝2，x２=-3 (3)将方程化为一般形式 3x２-11x＋9=0a=3，b=-11,c=9b2-4ac＝(－11)２-４×３×９=13>0(11)131113∴x=23611131113 ∴x１=，x2=66 （3）a=4，ｂ=－3，c＝１ b2-4ac=(-3）２－４×４×1=-7<０ 因为在实数范围内，负数不能开平方,所以方程无实数根． 三、巩固练习教材Ｐ42 练习1.(1）、（3）、（5）四、应用拓展2 例２.某数学兴趣小组对关于x的方程（m＋1）xm2+（m-2）x-1=０提出了下列问题. （1）若使方程为一元二次方程,m是否存在？若存在，求出m并解此方程． (2）若使方程为一元二次方程ｍ是否存在?若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析:能．(1)要使它为一元二次方程,必须满足ｍ２＋1=2，同时还要满足（m+1)≠0. (2）要使它为一元一次方程,必须满足:m211m210m10①或②或③(m1)(m2)0m20m20解:(１）存在．根据题意,得：ｍ2+１=2 m２＝1m=±1 当m=1时,m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当ｍ=1时,方程为2x2－1-ｘ=０ａ＝２，ｂ=-1,c=-１ b2-4ac=(-1)2-4×2×（-1)=1+８=9(1)913 ｘ=2241 ｘ１＝,x2=-21 因此，该方程是一元二次方程时,ｍ＝1,两根x1＝１,ｘ2=-.2(2）存在．根据题意,得:①ｍ２＋1=1，ｍ2=0，m=0 因为当m＝０时,(ｍ+1）+(ｍ-2)=２ｍ-1=-1≠0 所以m=0满足题意．②当m2＋1＝0,m不存在．③当m＋１=0,即m＝-1时，m-２=-３≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=０时,一元一次方程是x－2ｘ-1＝0, 解得：x=-1 当m＝-1时,一元一次方程是-3x-1=01解得x=-3 因此,当m=０或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m＝0时,其根为x=-1；当1m=-1时，其一元一次方程的根为x=－．3 五、归纳小结 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程；(２）公式法的概念; (3）应用公式法解一元二次方程;(4）初步了解一元二次方程根的情况. 六、布置作业 １．教材复习巩固4． 2.选用作业设计: 一、选择题 1.用公式法解方程４x2－１2ｘ＝3，得到(）．3636Ａ.x= B．x＝ 22323323Ｃ.x=Ｄ.x=22 2.方程2x2+43ｘ+62＝０的根是（ ).A．x1＝2,x2=3 B.x1=６,x2＝2C．x１=22,x2=2Ｄ.x1=x2＝-6 3.(m2-n２)（ｍ２-n2-２)-８=0,则m2－n２的值是(）． A．4 B.－2 C．4或－2Ｄ.-4或2二、填空题１.一元二次方程ax２+bx+c=0（a≠0)的求根公式是____＿__＿,条件是_＿______. 2．当x=＿＿___＿时，代数式x２－８x+12的值是－4． 3.若关于ｘ的一元二次方程（m－１)ｘ2+x+m2＋2m－3＝0有一根为0，则ｍ的值是_____. 三、综合提高题1．用公式法解关于x的方程：x2－２ax-b２+a２＝０．b2 2．设x1,x2是一元二次方程ax+bx＋c=0（a≠０）的两根,（1）试推导x1＋ｘ2=－ac３322，x１·x2=;(2）求代数式ａ(ｘ1+x2）+b（ｘ1＋ｘ２）+c（x1+x2）的值.a3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过Ａ千瓦时,那么这户居民这个月只交1０元电费,如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还A要按每千瓦时元收费.100(1）若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用Ａ表示）（2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量(千瓦时）交电费总金额(元)3 80 ２5 ４ 45 10 根据上表数据,求电厂规定的Ａ值为多少?答案:一、１．Ｄ 2．D3．Cbb24ac二、1．x＝,b2-4ac≥0２.4３．-32a2a4a24b24a2三、1．x＝=ａ±│b│222.(1)∵ｘ1、x2是ａx+bx＋ｃ＝0（ａ≠0)的两根,bb24acbb24ac ∴x=,ｘ=12a22abb24acbb24acb ∴ｘ1+x2==－,2aabb24acbb24acc x1·x２=·=2a2aa222 （2)∵x１,x2是ａx＋bｘ+c=0的两根，∴aｘ1+bｘ1+c=０，aｘ2+bx2+ｃ=03２3２ 原式＝aｘ1+bx1+c1ｘ1+aｘ2+bｘ2+ｃx222 =x1（ax１＋bx1+c)+ｘ2(ax2＋bｘ2+ｃ） ＝0A19３.（1)超过部分电费=(９0-Ａ）·＝-A2+A10010010A （2)依题意,得:(80－Ａ）·=15,A1=30(舍去），A2=5010021.3实际问题与一元二次方程第１课时教学内容由“倍数关系”等问题建立数学模型,并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题.教学目标掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题,引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题.重难点关键1.重点：用“倍数关系”建立数学模型2．难点与关键：用“倍数关系”建立数学模型教学过程 一、复习引入（学生活动)问题１：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价:股票每天交易结果时的价格）：星期一二三四五甲12元12.5元1２.9元12.45元１2.75元 乙13.5元13.3元１3.9元13．4元13.75元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票,若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等)，则在他帐户上,星期二比星期一增加２00元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股? 老师点评分析：一般用直接设元,即问什么就设什么,即设这人持有的甲、乙股票各x、ｙ张,由于从表中知道每天每股的收盘价,因此，两种股票当天的帐户总数就是ｘ或y乘以相应的每天每股的收盘价,再根据已知的等量关系;星期二比星期一增加2０0元,星期三比星期二增加1300元，便可列出等式.解：设这人持有的甲、乙股票各ｘ、y张．0.5x(0.2)y200x1000(入) 则解得0.4x0.6y1300y1500(入)答：(略） 二、探索新知 上面这道题大家都做得很好,这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式,也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题. （学生活动）问题２：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3．31万台,求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+ｘ)台,三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长,即(1+x)＋(1＋x)x=(1+ｘ）２,那么就很容易从第一季度总台数列出等式. 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x,则1＋(１+x)+（1＋ｘ)2=3.31去括号:１＋1+x＋1+2x+ｘ2=3.31 整理，得:x2+３x-0.31=0 解得：ｘ=10％ 答：(略)以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组)、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型. 例１.某电脑公司２00１年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共9５0万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x,由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额,又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为ｘ 则２00+2０0(1+x)+200(１+x）2=95０ 整理，得：ｘ2＋3x-1.75=0 解得:x＝50％ 答:所求的增长率为５０%． 三、巩固练习 (1）某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?（２)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x,可列出方程为＿_＿____＿__. 四、应用拓展例2.某人将200０元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的１000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变，到期后本金和利息共１320元，求这种存款方式的年利率． 分析:设这种存款方式的年利率为x,第一次存２000元取1000元,剩下的本金和利息是100０＋２000x·80％；第二次存，本金就变为１０00+2000ｘ·8０%,其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x·80％+(100０+2000x·8%)x·80%=1３2０ 整理,得:1280x２+８00x+1600x=320，即８ｘ2+1５ｘ－2=01 解得:x1＝－2(不符,舍去），x2＝＝0.１2５=1２.5%8 答：所求的年利率是12．5%. 五、归纳小结 本节课应掌握：利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型,并利用恰当方法解它．六、布置作业 １．教材复习巩固1 综合运用1． 2．选用作业设计．作业设计一、选择题1.２０1３年一月份越南发生禽流感的养鸡场１０0家,后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共25０家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为ｘ，依题意列出的方程是（）． A．100（1+x）２=2５0B.10０（1+x）+１０0(1+x）2=2５0 C.10０（1－x)2=250D.10０(1+x）2２.一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25％,因库存积压,所以就按销售价的70％出售，那么每台售价为（). A．(1+２5%）(1+7０%）a元 Ｂ.70％（1＋2５%）ａ元 C．（１＋２５％）(1-70％)a元 D．(1+２5％＋70%)a元3.某商场的标价比成本高ｐ%,当该商品降价出售时，为了不亏损成本,售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d％，则d可用p表示为()．p100p100pA. B．ｐ C. D.100p1000p100p二、填空题１.某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x,第一年的产量为６万kg，第二年的产量为＿______kg，第三年的产量为_＿_＿_＿_，三年总产量为___＿＿__．2.某糖厂2002年食糖产量为aｔ，如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计２００4年的产量将是___＿__＿_.3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格,某种药品在1999年涨价3０%后,２001年降价７0%至a元,则这种药品在1999年涨价前价格是__________.三、综合提高题1.为了响应国家“退耕还林”,改变我省水土流失的严重现状,2000年我省某地退耕还林１6０0亩,计划到2002年一年退耕还林1936亩,问这两年平均每年退耕还林的平均增长率２．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型１６台,从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐年递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比是3:２,三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量.３.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（１)如果第一年的年获利率为ｐ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（用代数式入入入来表示）（注：年获利率＝×100%）入入入入入入(２)如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.答案：一、1.B ２．B3．D二、1．6（１+x) 6(1+ｘ)２6
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