零温Hohenberg—Mermin—Wagner定理和Goldstone定理的等效性

零温Hohenberg—Mermin—Wagner定理和Goldstone定理的等效性 第,,卷 第 ,期 兰 州 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) ( ,,, ,, , ,(, ,, , ,年 , ,月 , , ,, , , , , ,, ,, ,, , , ;, ; ,) , , ,, ,,, , , , , , ,,( , , ,, ,, , ( , ,,; ,,, , ,, , ( , , , — , ,, 文 章 编 号 :, , , , , , , ) , , , — , , , ,, , , , , , , 零 温 ,, , , , — , ,,— , , ,定 理 和 ,,, ,定 理 的 等 效 性 ,,, ,, 刘 红 ，刘 宪 。 ,中 北 , , , ( ( 国 科 技 大 学 研 究 生 院 ( 京 )地 学 部 ，北 京 , , , ; ( , 四川 化工 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学校 分析 教 研室 ，四川 成 都 , , , , ,, ) , ,, , , 研 , ,,模 型 基 态 中 电 子 配 对 摘 要 :应 用 零 温 情 形 下 的 , , , , ,不 等 式 ， 究 了一 维 和 二 维 ,, , , 铁 长 发 , ,,模 型 的 自旋 ( 荷 ) 发 和 磁 性 ( 磁 和 反 铁 磁 ) 程 序 的 可 能 性 ( 现 如 果 在 一 维 和 二 维 ,, , , 电 激 的 并 , 谱 中 存 在 能 隙 ( 该 系 统 在 基 态 中 不 可 能 呈 现 则 或 出 磁 性 ( 电 子 配 对 ) 长 程 序 ， 由 此 从 低 维 ,, — , ,模 型 说 明 了零 温 ,, , , , — , , ,, , ,定 理 与 ,,, ,, ,, , , ,, ,,,,— , , ,,, ,定 理 是 等 效 的 ( , , , , ,, ,,— , , ,,, ,, ,, , , 关 键 词 : 零 温 ,, , , , — , , , ,定 理 ; ,, , ,定 理 ; , , ,模 型 , 中 围 分 , , 类 号 :,, , 文 献 标 识 码 :, , ,, , , , , , ,, , , ,??,多 年 前 ， , , ,,,应 用 , , , , ,不 等 式 〔 严 格 证 明 了 任 何 有 限 温 度 下 一 维 和 二 与 ,, ,, , 〕维 玻 色 和 费 米 液 体 中 不 可 能 存 在 超 流 和 超 导 有 序 ( 此 同 时 ， , ,等 ， 应 用 同 样 的 方 法 严 ,, , ,格 证 明 了 具 有 短 程 交 换 作 用 的 一 维 和 二 维 ,,, , , ,模 型 在 任 意 非 零 温 度 下 不 可 能 存 在 铁 这 , , ,, , , , , , , 它磁 和 反 铁 磁 长 程 序 ( 就 是 人 们 熟 悉 的 ,, , , , — ,,,— , , ,定 理 ( 澄 清 了 当 时 在 低 此 ,, , , 采 , ,,维 系 统 中 有 关 相 变 理 论 的 许 多 争 论 ( 后 ， , ,, 用 同 样 的 方 法 严 格 排 除 了 低 维 ,, , , 最 ,模 型 中 任 何 非 零 温 度 下 存 在 铁 磁 和 反 铁 磁 长 程 序 的 可 能 性 ( 近 ， ,等 , ,, , , 将 , , , , ,不 严 , , ,模 型 与 ,,模 型 都 不 等 式 又 应 用 于 超 导 问 题 ， 格 地 证 明 了 在 任 何 有 限 温 度 下 低 维 ,, , , — 扩 但 这会 存 在 波 ， 展 的 波 ， 波 及 配 对 或 , 配 对 的 超 导 长 程 序 ( 是 应 该 注 意 ， 些 结 果 都 是 不 如 , ,, , , 则在 有 限 温 度 下 获 得 的 ， 适 用 于 零 温 或 基 态 ( 果 将 , , , , ,不 等 式 推 广 到 零 温 情 形 ， 人 们 就 可 以对 上述 若 干 模 型 的基 态 性 质 得 到 一些 有 益 的 结 论 ( 虽然 , 已 , ,, , , 但 ,等 。 经 给 出 了 零 温 , , , , ,不 等 式 的 详 细 推 导 ， 是 由 此 不 等 式 诱 导 出 本 , ,,模 型 为 例 来 阐 明 零 温 的 物 理 结 论 并 没 有 仔 细 地 讨 论 ( 文 的 主 要 目 的 就 是 以 低 维 ,, , , , ,, , , 其 , , ,, , , , , , ,, , , , ,不 等 式 所 蕴 含 的 物 理 意 义 ， 主 要 结 论 就 是 零 温 ,, , , , — , ,,— , , ,定 ,,, ,定 理 是 等 效 的( 或 许 是 第 一 次将 凝 聚 态 理 论 中这 两 个 著 名 定 理 联 系起 来 了(理 与 ,,, , , 这 , ,, , ,, 零 温 , , , , ,不 等 式 先 , ,, , , 考 为 了 便 于 以 下 的 讨 论 ， 来 回 忆 一 下 零 温 , , , , ,不 等 式 ( 虑 温 度 , , ,时 的 一 个 假 用 ,) 假量 子 力 学 系 统 ( 如 该 系统 的 基 态 是 简 并 的 ， , 来 表 示 第 ,个 基 态 ( 如 该 系统 的 基 态 是 , , ,一 , 收 稿 日期 :, , — , , ( ,,一 ( 讲 作 者 简 介 :刘 红 ( , , ) 女 ， 师 , , 兰 州 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 第,,卷 其 ,( ) 这 在非 简 并 的 ， 基 态 则 用 , , ,— , 来 表 示 ( 样 ， , , ,时 任 何 一个 算 符 , 的 期 望 值 可 以统 一 地 定 义 为 五 。一 ， , () 如 则 ,, 一 ,, ( , ,, 一 ) 利 ， 果 基 态 是 惟 一 的 ， , 。 , , ,, 假定 , , , ( 用 ,显 然 一 个 两 点 函数 及 其 满 足 的 得 , ,, , ,性 质 ， 到 如 下 形 式 的零 温 , , , , ,不 等 式 , ’ 〕, 〔 。?去 , ， , , ’。 ,;，’,, ( ,, ) 一 ? , , , ,,;, ， 〕 一 , ’ ,) 〔 ,, 卢 。 〔 ，〕 ’) , 。 一 , ? 口 , , ),,, ,，, 〕。 ? 去, ， ，’ , ， , () , , ? 其 中 : 和 ,是 任 意 两 个 ,，’ ,, 量 子 力学 算 符 ; 是 要 研 究 的量 子 力 学 系 统 的 哈 密 顿 量 ; 的定 义 为 :? 一 ,。 是 ,。 到 ,。 的 一 ， 所 研 究 的 系 统 从 基 态 ( ) 最 低 激 发 态 ( ) 激 发 能 隙 (如果 选 取 合 适 的量 就 应 子 力 学 算 符 ， 能 够 对 任 何 一 个 量 子 力 学 系 统 的 基 态 性 质 得 到 某 些 有 用 的 信 息 ( 该 强 调 的 上 , ,, , , 下 是 ， 述 零 温 , , , , ,不 等 式 并 不 依 赖 于 系 统 的 基 态 是 简 并 的 还 是 非 简 并 的 ( 面 将 该 不 , , ,模 型 ， 研 究 其 基 态 的 有 序 性 质 ( 等 式 应 用 于 ,, , , 来 , , ,模 型 中 的 应 用 , 在 ,, , , 考 , , ,模 型 ， 系 统 的 在 一个 周 期 性 的 点 阵 上 ， 虑 外 加 有 空 间 依 赖 性 的 静 态 磁 场 的 ,, , , 其 哈 密 顿 量 为 ( ) ,一? ?,,—, ; ，, ， ，, ?? 一专 ?, ’ 一 ) 垃, ， ( ,) ( 对 和 的求 和 遍 及所 有 , 个 格 点 ; 其中: 自旋 一 ( ,)外 , ( 十， , ， 加 磁 场 是 ， 一 ? )算 ，, , ; 符 ， 分 别 是 电 子 的 产 生 和 消 灭 算 符 ; , 局 跳 积 , 一 』 是 局 域 电 子 数 密 度 ( 域 交 迭 ( 跃 ) 分 ,( , ) ,( )一 丁( , ) , 是 电 子 问 同 格 点 库 仑 势 ( 以看 出 ， 满 足 反 射 对 称 性 : ,， 一 ， 可 这个 模 型 不但 包 含 电子的单带而且包 含多带的贡献( , , ,? ， ，, , 电子 的 自旋算符 为 : 一 ; ; ，,—; ,, 一 去( — )其 ,一 , , ( , ,) 正 ,志 , , ( , , ) : , ,? ?( 傅立叶变换通过下列式子定义:。 ? , ,一,? , ( ，(),? ,, ,( 〔 志 ， 志 ) 志， , ) 〔 ( ) , ) , ) ( 它们 满 足 下 述 对 易 关 系 :, ( ) , ( 〕一 千 , ( ,( ;, 志 ， 一( 〕一 , ‘ ( 些 义中，到了 子 的 立 变 一 ,? ,一,? 于 在 ，,) 这 定 , ( 用 电 算符 傅 叶 换: , , ( , ,) 是， 哈密 顿 量 , 在 动 量 空 间 中 可 以改 写 为 一 ,,, ), ) ,(,， , , , 一 , : , ? 一 , ( ?(志一 ,一 ) , ， , ( ) ? 一 , ,) ,, ,) 子色散关系; , , 其中: ? (。,( ? 单电 ,一 ? ， 是电 数( 子的总 ( , , 磁 性 长 程 序 在 , ,, , , ) , 为 了讨 论 该 模 型 基 态 的 磁 性 长 程 序 ， 零 温 , , , , ,不 等 式 中选 取 , : ,，( ， — 一( ( 得 , 一 ,— ,) 经 过 计 算 ， 到 双 对 易 子 〔 ,〕 〕。 ; , (。 一;, ,) ( , ?, 一, 一,, 。 ,。 ,〔， ，’,一 ?, ,), , ? 。 ，,’ ,,,，,,( ) ( ， ，, 。 一, , 第 ,期 刘 零 , , ,,,, ,,— , , ,,, ,定 理 的 等 效 性 红 等 : 温 ,, , , ,— , , ,, , ,定 理 和 ,,, ,, , , 在对上式的计算中， (。 ’( 十一 , 用到了 , ,)的反射特性和 丁 , 一 ,注意到? () ( , ,,, , 一 , 。的上 界 为 , ， ，，， ) ,一 , , , , , ， 到 下 列 不 等 式 并且 , ,( ,, , 得 〔 ,〕 〕。 ; , , ,) (〔， ，，)? ? ，(。, , 一, ) 。 ,，，,( ) ( 一 ,( )， , 式 , 得 现 在 定 义 每 格 点 的 磁 化 强 度 为 ( ,)一 ( 一 ) 带 人 ( )式 中 ， 到 ,( (一 , 一 , , ( ， 。,) 。把 ( ? ) ， ,— , ,),,; , ,(其中: ? ( (。, , —,, 由于, ,) 是,,, , (。 , ,, 函数间交迭积分的矩阵元， 因此， 。 (。, 对 强关联电子来说随空间距离的增加迅速衰减， , ? , ,), 是有界的(将上述不等 式的两边对动量 , 并考虑到? , ‘ ,?,， 求和， , ) ， (‘ , 。 得到 ， ( ,) ? ( , , 一 , ( , () , 。, 现 在 取 热 力 学极 限 ， 一 。 ， 一 。 , 这 可 。但 是 ,, — 保 持 有 限( 样 ， 将 上 述不 等式 中 的 并 。 ,,求 和 用 遍 及 第 一 布 里 渊 区 的 积分 来代 替 ， 且 假 定 , 是 动 量 空 间 中 最 近 的 , , ,平 面 离 原 点 对 积的距 离 ( 一维 情 形 ， 分 给 出 , , ,, 丽, ( , ;( ,, ，一 ) ? 〔, ? , ， , ( .