2018浙教版最新一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念及解法知识点一：一元二次方程的概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。(2)一般表达式：ax2bxc0(a0)(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2bxc0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax2bxc0时，应满足（a≠0）1例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0；④5x30，其中是一元二次方程的有。x1y2变式:方程：①2x21②2x25xyy20③7x210④0中一元二次程的是。3x2例2：一元二次方程(13x)(x3)2x21化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。变式：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。变式：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（）A．一元二次方程B．一元一次方程C．一元一次方程或一元二次方程D．以上答案都不对知识点二：一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。（2）应用：利用根的概念求代数式的值；【典型例题】1.已知x2是一元二次方程x2mx20的一个解，则m的值是（）A．3B．3C．0D．0或32.已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为。3.若x=a是方程x2-x-2018=0的根，则代数式2a2-2a-2018值为。4.关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为。4.已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足abc0，则此方程必有一根为。【举一反三】1.已知关于x的方程x2kx60的一个根为x3，则实数k的值为（）A．1B．1C．2D．22.若m2-5m+2=0，则2m2-10m+2016=。5.若x=1是关于x的一元二次方程ax2bxc0a0一个根,求代数式2019(a+b+c)的值知识点三：解一元二次方程1一：直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(xm)2n的一元二次方程。根据平方根的定义可知，xm是n的平方根，当n0时，xmn，xmn，当n<0时，方程没有实数根。用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。（1）形如x2p(p0)的方程的解是x=p。当p=0时，xx012pn（2）形如mxn2pp0的方程的解为x=。m2n形如mxan0的方程可先化成xa2的形式，再用直接开平方法解。m【例题讲解】1、方程（x-2）2=9的解是（）A．x=5，x=-1B．x=-5，x=1C．x=11，x=-7D．x=-11，x=7121212122、若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（）11A．1B．4C．D．423、对于形如x2p的一元二次方程，能直接开平方的条件是___________________。4、用直接开平方法解下列方程：22（1）16x281（2）m224(3)9x225042x13603【同步训练】1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根为（）A．x=3+23B．x=3+22，x=3-2212C．x=3-22D．x=3+23，x=3-231212、方程（x-3）2=0的根是（）2A．x=3B．x=0C．x=x=3D．x=3，x=-3121223、方程2x6900的根是________________________。24、方程t2169的根是_____________________。5、用直接开平方法解下列方程：2212（1）x70（2）y1128（3）4(3x1)290（4）4x216x1692二：配方法配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2。配方法的步骤：（1）把常数项移到方程的右边（2）把二次项系数化为1（3）等式的两边同时加上一次项系数一半的平方（4）配成完全平方式（5运用开平方法求解。ax2bxc0ax2bxc（1）bcx2x（2）aabb2cb2x2x（3）a2aa2ab2cb2x（4）2aa2a【例题讲解】1、用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）A．（x-1）2=4B．（x+1）2=4C．（x-1）2=16D．（x+1）2=162、若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b之值为何？（）A．-57B．63C．179D．1813、用适当的数填空：①、x2+6x+=（x+）2②、x2－5x+=（x－）2；③、x2+x+=（x+）2④、x2－9x+=（x－）24、将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．5、已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．6、将x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，所以方程的根为_________．7、若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是8、用配方法解下列方程：3（1）x212x150（2）x28x9（3）3x25x21（3）x24x40（5）x24x30（6）2x247x49、用配方法求解下列问题（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。【举一反三】1．把方程x+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=22．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±10B．-2±14C．-2+10D．2-103.用配方法解下列一元二次方程（1）x24x96（2）x24x50（3）2x23x10（4）3x22x70三：公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。b2cb2b2cb2由配方法得x，化简：x2aa2a2aa4a2b24acb2b2b24acbb24acbb24acxxxx2a4a24a22a4a22a4a22a2abb24acx2a一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：bb24acx(b24ac0)2abb24acbb24acx，x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项12a22a系数，b为二次项系数，c为常数项。【典型例题】4例1：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________．例2：用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x=_____，x=________．12例3：一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（）．A．0B．1C．-1D．±1例4：不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个B．1个C．2个D．3个例5：方程（x+1）（x-3）=5的解是（）A．x=1，x=-3B．x=4，x=-2C．x=-1，x=3D．x=-4，x=212121212例6：一元二次方程x222x60的根是（）A.xx2B.x0,x22C.x2,x32D.x2,x3212121212例7：一元二次方程x2-3x-1=0的解是。例8：用公式法解下列方程（1）3x25x20；（2）2x23x30；（3）x22x10；x例9：若x2-xy-3y2=0（y＞0），求的值．y【举一反三】1.用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x=_____，x=________．122.用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）3636323323A．y=B．y=C．y=D．y=22223.不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4.用公式法解方程(1)x2+15x=-3x;(2)x2+x-6=0;(3)3x2-6x-2=0;(4)4x2-6x=0四：因式分解法因式分解法：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解。1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；x2abxab0(xa)(xb)0xa,xb对于一般的一元二次方程，可分解为，所以12。2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：5（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3.用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.4．用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5．数学思想：整体思想和化归思想.【例题讲解】例1．解方程13（1）10x-4.9x2=0（2）x（x-2）+x-2=0(3)5x2-2x-=x2-2x+(4)(x-1)2=(3-2x)244例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0【举一反三】(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；（3）(x2)22x40；(4)x2－4x－21＝0；(5)(x－1)(x＋3)＝12；(6)3x2＋2x－1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．【巩固练习】用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；（3）x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；(7)7－2x2=－15（8）2x22x300(9)5x2－(52＋1)x＋10＝0；(10)2x2－8x＝7；(11)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．6知识点五、一元二次方程根与系数的关系例1若方程x24xc0的一个根为23，则方程的另一根为_______，c=______．例2已知方程x23x50的两根为x、x，则x2x2_________1212bc例3如果x、x是一元二次方程ax2bxc（0a0）的两根，那么，x+x=-，xx=．这就是著名的韦1212a12a达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x2-6x+3=0的两根。（1）填空：m+n=，mn=.11（2）计算+的值mn【课后练习】1、下列方程中,常数项为零的是()A、x2+x=1B、2x2-x-12=12C、2(x2-1)=3(x-1)D、2(x2+1)=x+22、已知ｍ是方程ｘ2-x-1＝０的一个根，则代数ｍ2－ｍ的值等于（）A、１B、－１C、0D、212x33、下列方程:①x2=0,②-2=0,③2x2+3x=(1+2x)(2+x),④3x2-x=0,⑤-8x+1=0中,一元二次方程的个数是x2x()A、1个B、2个C、3个D、4个4、方程x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（）A、x=-1B、x=3C、x1,x3D、以上答案都不对125、把方程4—x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为，则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为。6、在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。7、方程x24x0的解为．28、已知关于x的一元二次方程x2+kx+k=0的一个根是–2，那么k=____。1、一元二次方程1kx2x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是79、关于x的一元二次方程x2k0有实数根，则（）（A）k＜0（B）k＞0（C）k≥0（D）k≤010、下列方程中，有两个相等实数根的是（）A、2y256yB、x2525xC、3x22x20D、3x226x1011、若两数和为-7，积为12，则这两个数是。12、已知y=x2-2x-3，当x=时，y的值是-3。13、若方程x2m0有整数根，则m的值可以是_________（只填一个）。14、解下列方程（1）x2－4x+4=0（2）8y2－2=4y（3）y2222y（4）4xx13x1ac15．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则=（）．bbA．1B．-1C．0D．216．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．11A．-B．-1C．D．12217．用因式分解法解下列方程．（4）x2-12x+35=0（4）3x（x-1）=x-1；（5）x2-23x+3=0；（6）（x-7）（2x+1）+7=0；（7）（2x+3）2=12x；（8）（x-5）2-8（x-5）+16=0．22(43)x2418.在实数范围内定义运算，“”，其法则为：abab，求方程的解。8