解三角形教学设计

高一数学必修5第一章解三角形 教学设计 散步教学设计免费下载洗衣歌教学设计免费下载汽车材料教学设计下载爱护水资源教学设计下载一师一优课教学设计下载 三明九中    林晴岚 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）教学内容及课时安排建议 1.1正弦定理和余弦定理（约4课时）    1.2应用举例（约4课时） （三）课时具体安排如下： 课题: §1．1．1正弦定理                       授课类型：新授课 ●教学目标： 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 [理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ； （2） 等价于 ， ， 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ] 例题 .在 中,已知 , , B=450.求A、C和c. 解: 且   A有两解. 由正弦定理,得   1) 当A=600时,C=1800-A-B=750,  2) 当A=1200时,C=1800-A-B=150,  练习：1) 求B、C、b. 2) 求B、C、b. 3）已知 ABC中， ，求 小结（由学生归纳总结） （1）定理的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示形式： ； 或 ， ， （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 课题: §1.1.2余弦定理                  授课类型：新授课 ●教学目标: 知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程: [理解定理] 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即         思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： ，    ，      从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析] 例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A ⑴解：∵ = cos = =               ∴ 求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos     ∴ 解法二：∵sin 又∵ ＞     ＜ ∴ ＜ ，即 ＜ ＜         ∴ 评述：解法二应注意确定A的取值范围。 练习：在 ABC中，若 ，求角A（答案：A=120 ） 小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论           授课类型：新授课 ●教学目标: 知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 ●教学重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 ●教学难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 [探索研究] 例1．在 ABC中，已知 ，讨论三角形解的情况 分析：先由 可进一步求出B；则 ，从而 1．当A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。 2．当A为锐角时， 如果 ≥ ，那么只有一解； 如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若 ，则有两解；（2）若 ，则只有一解；（3）若 ，则无解。 （以上解答过程详见课本第9-10页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 练习: （1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。 （2）在 ABC中，若 ， ， ，则符合题意的b的值有_____个。 （3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3） ） 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例2．根据所给条件,判断 的形状. 1）在 ABC中，已知 ， ， 。2）   3） 分析：由余弦定理可知 （注意： ） 1）解： ，即 ，∴ 。 2）解: 解法一(化边) 由余弦定理得 ,      或   或   故 是直角三角形或等腰三角形 解法二(化角)由 可得 即     或 即 或A+B=900 故 是直角三角形或等腰三角形 3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得 ,    代入已知等式得 ,  即     故 是等边三角形 (化边)解法二:由已知等式得 即     故 是等边三角形 练习： 1）在 ABC中，已知 ，判断 ABC的类型。 2）在 ABC中， ， ， ，判断 ABC的形状。 3）判断满足下列条件的三角形形状， sinC = 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边” 三角形面积公式，S= absinC， S= bcsinA, S= acsinB 例3、在 ABC中，求证：（1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k      显然 k 0，所以 左边= = =右边 （2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc +ca +ab ) =(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边 变式练习1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面积 例4．在 ABC中， ， ，面积为 ，求 的值 分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理 解：由 得 ，则 =3，即 ， 从而 练习： （1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角C （2）在 ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积 ，求角C （答案：（1） 或 ；（2） ） 小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。 课题: §2.2解三角形应用举例（第一课时）                    授课类型：新授课 ●教学目标: 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点: 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点:根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程： 首先研究如何测量距离。 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 (2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， BAC= ， ACB= 。求A、B两点的距离(精确到0.1m)