高中数学压轴题一

高中数学压轴题一 备战2013 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学――压轴题跟踪演练系列一 1((12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线M1,2x，， 的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. (?)求这三条曲线的方程; ,(?)已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直AB,APP3,0llx，， ,径的圆截得的弦长为定值,若存在，求出的方程;若不存在，说明理由. l 2p,2解:(?)设抛物线方程为，将代入方程得 ypxp,,20M1,2，，，， 2………………………………………………(1分) ？, 抛物线方程为: yx4 由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………(2分) FF,？1,0,1,0, c=1，，，，21 222对于椭圆， 2112114222aMFMF,，,，，，,，,，，，，，12 ？,， a12 22？,，,， a12322，， ………………………………(4分) 222？,,,， bac222 22xy？，, 椭圆方程为: 1322222，， ,2222aMFMF,,,,对于双曲线， 12 ,？,, a21 2,？,, a322 222………………………………(6分) ,,,？,,,, bca222 22xy？,, 双曲线方程为: 1322222,, ,,(?)设的中点为，的方程为:，以为直径的圆交于两点，中点为 APAPDE,DEHCllxa, xy，3,,11令………………………………………………(7分) Axy,,, C？，，11,,22,, 1122？,,,， DCAPxy3，，1122 x，311 CHaxa,,,,，23，，122 21122222，，，，？,,,,，,,， DHDCCHxyxa323，，，，111，，，，442 ,,，axaa-23，，1 2…………(12分) 当时aDH,,,，,2462,为定值;？,, DEDH222为定值 ,此时的方程为:lx ,2 2a,62((14分)已知正项数列中，，点在抛物线上;数列中，点abyx,，1Aaa,,,,,，，1nnnnn，1 在过点，以方向向量为的直线上. Bnb,0,11,2，，，，，，nn (?)求数列的通项公式; ab,,,,,nn ,a, n为奇数，，n,(?)若fn,，问是否存在，使成立，若存在，求出fkfk，,274kN,k，，，，，，,b, n为偶数，，,n, 值;若不存在，说明理由; nn，1aa(?)对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围. ,,0na,,,,,,,，2111nan111，，，,,,,,,bbb,,,,,,12n 2解:(?)将点代入中得 yx,，1Aaa,，，nnn，1 aaaad,，？,,,11 nnnn，，11 …………………………………………(4分) ？,，,,,， aann115，，n1 直线lyxbn:21,21,，？,， n ,n，5, n为奇数，，,(?)fn,………………………………(5分) ，，,21n，, n为偶数，，,, 当为偶数时，为奇数，kkfkfk，，,27274 ，，，，？，，,，？, kkk275421,4，， 当为奇数时，为偶数，kk，27……………………(8分) 35？，，,，？, 227145,kkk舍去，，，，，，2综上，存在唯一的符合条件。k,4 nn，1aa(?)由 ,,0,,,,,,,，2111nan111，，，,,,,,,bbb,,,,,,12n ,,,,,,1111即a,，，，111,,,,,,bbb23，n,,,,12n,, ,,,,,,1111记,，，，111fn，，,,,,,,bbb23，n12n,,,,,, ,,,,,,,,11111？，,，，，， fn11111，，,,,,,,,,bbbb25，n121nn,,,,,,,,， fn，1,,，，231232424nnnn，，，，？,,，,,, 1,, 23，fnbn，，2525nn，，2523nn，,，n1，,, 241616nn，， ,,1241615nn，， ？，, fnfnfn1,即递增，，，，，，， 1445？,,,, fnf1,，，，，min3155 45？,, 0a15 ………………………………(14分) 223.(本小题满分12分)将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), x，y,4得到曲线C. (1) 求C的方程; (2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, F(3, 0) 延长线段ON交C于点E. |AB| ,3求证: 的充要条件是. OE,2ON ,x,x,,,,P(x, y)(x, y)解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分) ,,y,2y,, 2x22222,,x，4y,4,，y,1又?. x，y,4,4 2x2，y,1所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分) 4 (2)设点, , 点N的坐标为, (x, y)A(x, y)B(x, y)001122 ?当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ?设直线l: x,my，3, ,x,my，3,由消去x, ,22,x，4y,4, 22得………………? (m，4)y，23my,1,0 3my,,,?………………(6分) 02，m4 223m3m，4343x,my，3,,，,?, 00222m，4m，4m，4 433m(, ,)?点N的坐标为.………………(8分) 22，，m4m4 8323m(, ,)?若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上, OE,2ON22，，m4m4 24812m4222得, 即 ?舍去). m,4m,32,0,m,8 (m,,4，,12222(m，4)(m，4) 22212m，4m，164m，1|y,y|,,,1,由方程?得 1222m，4m，4 又 |x,x| , |my,my| , |m(y,y)|,121212 2|AB| , m，1|y,y| ,3?.………………(10分) 12 24(m，1)2|AB| ,3m,8. ,3,?若, 由?得? 2m，4 362(, ,)y,,x (x,0)?点N的坐标为, 射线ON方程为: , 362 ,23,2x,,y,,x(x,0) 236,,3(, ,),由 解得 ?点E的坐标为 2,,33622,,x，4y,4y,,,,3, ?. OE,2ON |AB| ,3综上, 的充要条件是.………………(12分) OE,2ON 1(x,R)f(x),4.(本小题满分14分)已知函数. x4，2 11f(x)(1) 试证函数的图象关于点(, )对称; 24 n(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和a,f() (m,N, n,1, 2, ？,m){a}{a}n，nnm S;m 11112(3) 设数列满足: , . 设. bT,，，？，,b,b，b{b}n1n，1nnnb，1b，1b，1312n 若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值. S,TSnnn 11P(x, y)f(x)解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为. P(x, y)(, )00024x，x1,0x,1,x,,,0,,,22由 得 ,,1y，y1y,,y.00,,,2,,24, 1所以, 点P的坐标为P.………………(2分) (1,x, ,y)002 1f(x)由点在函数的图象上, 得y,. P(x, y)0000x04，2 xx00144? ,,,,f(1x),01,xxx000，，,，424242(42) x011114f(x) ?点P在函数的图象上. (1,x, ,y),y,,,,000xx002224，2，2(42) 11f(x)?函数的图象关于点对称. ………………(4分) (, )24 1kk1f(x)，f(1,x),(2)由(1)可知, , 所以, f()，f(1,), (1,k,m,1)2mm2km,k11即………………(6分) f()，f(), , ？a，a,,km,kmm22 由, ……………… ? S,a，a，a，？，a，am123m,1m 得 ………………? S,a，a，a，？，a，a,mm,1m,2m,31m 1m,11m1由?，?, 得 2S,(m,1)，，2a,，2，,,,mm22626 1?………………(8分) S,(3m,1).m12 12(3) ?, ………………? b,,b,b，b,b(b，1)1n，1nnnn3 ?对任意的. ………………? n,N, b,0，n 1111111,,,,,,由?、?, 得即. ，，b1bbbb(b1)bb1，n，1nnnnnnn，1 111111111T,(,)，(,)，？，(,),,,3,?.……………(10分) nbbbbbbbbb1223nn，11n，1n，1 2??数列是单调递增数列. b,b,b,0, ？b,b,{b}n，1nnn，1nn ?关于n递增. 当, 且时, . n,2Tn,NT,Tn，n2 11144452? b,,b,(，1),, b,(，1),,12333399981 175?………………(12分) T,T,3,,.n2b521 238417575?即? ?m的最大值为6. ……………(14分) S,,(3m,1),,m,,6,m5212523939 225((12分)E、F是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点E的直线交椭Pl,lxy，,24 圆于A、B两点. AEAF,,AEF(1) 当时，求的面积; y(2) 当AB,3时，求AFBF，的大小; AP (3) 求，EPF的最大值. M FExOmn，,4B,1解:(1) ,,,Smn2,,AEF22mn，,82, ,，,AEAF4,(2)因,，，,ABAFBF8， ,BEBF，,4,, AFBF，,5.则 tanEPFtanEPMFPM，,，,，()(1) 设 Ptt(22,)(0), 32232222223，t,,,，,,,()(1)， 221,tttttt，，663 3tanEPFEPF，,,，,30当时， t,63 22S1nan,26((14分)已知数列中，，当时，其前项和满足， a,Sna,,,n1nn321S,n anlim(2) 求的表达式及的值; Sn2n,,Sn a(3) 求数列的通项公式; ,,n 11nN,n,2(4) 设，求证:当且时，. b,,ab,nnn33nn，,(21)(21) 22S11n解:(1) ,,,,,,,,,,aSSSSSSn22(2),,,nnnnnnn111,21SSS,nnn1 ,,11所以是等差数列.则. S,,,nSn，21n,, a22n. ,,,,limlim22,,,,nn,,SSS212lim1nnn,,n 112,(2)当时，， n,2aSS,,,,,nnn,12nnn212141，,, 1,n,1，，,,3综上，a,. ,n2,n,2，，2,14,n, 1110,,,baab,,,(3)令，当时，有 (1) n,2 32121nn,， 1111法1:等价于求证. ,,,332121nn,，2121nn,，，，，， 111230,,,fxxxx,,,,,0,当时，令 n,2，，213n,3 33132,， fxxxxxxx,,,,,,，,,,232(1)2(1)2(1)0，，2223 1(0,]fx则在递增. ，，3 1110,,,又， 21213nn，, 11gg()(),,所以即. ab,nn332121nn，, 11112233法(2) abbaba,,,,,,,,,()()nn33nn，,2121nn，,(21)(21) 22 (2) ,,，，,,()()abababab ababba22 (3) ,,，,，，,()[()()]abaabb,,，,，，,()[(1)(1)]abaabb2222 baaba333因，所以 aabb(1)(1)0，,，，,,ba，,,，,,,,,,,,11111022222223 由(1)(3)(4)知. ab,nn 1,a22,gbababab,，，,,法3:令，则 gbbab,，,,,,210，，，，2 22gbmaxggamaxaaaa,,,,0,,32所以 ，，，，，，,,,, 121422323()3()0aaaaa,,,,,,0,,,a因则， aaaa,,,,10，，3393 22所以 (5) gbababab,，，,,,0，， 由(1)(2)(5)知 ab,nn 7( (本小题满分14分) 22yx设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，,22ab P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点. ,,,2OP(1) 证明:无论P点在什么位置，总有|| = ,,,,,OR?| ( O为坐标原点); |OQ (2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围; 第21题 b解:(1) 设OP:y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ), a ,,,,,,ab,kababkabOR 解得:= (,), 同理可得= (,), OQak,bak,bak，bak，b 222,,,,,,abab,kabkabab(1，k)OR?|?| =|+| =. 4分 OQ222ak,bak，bak,bak，b|ak,b| ,,, OP 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得: 22222abkab22m =, n = , 222222b,akb,ak 22222222,,,ab(1，k)kabab222OP? || = :m + n = + = , 222222222b,akb,akb,ak 222?点P在双曲线上，?b – ak > 0 . ,,,,,,,,2OPOR ?无论P点在什么位置，总有|| = |?| . 4分 OQ 222ab(1，k)(2)由条件得:= 4ab, 2分 222b,ak 24b,ab172即k = > 0 , ? 4b > a, 得e > 2分 24ab，4a